Folgende Aufgabe habe ich denke ich ausreichend gelöst.
Ich möchte gerne wissen, ob mein Rechenweg bzw. die Begründung ganz am Ende ausreichen oder verbessert werden sollten.
Aufgabe:
zeige für alle n € N dass gilt: \( 5 | 3^{n+1} + 2^{3n+1} \)
Problem/Ansatz:
Ind.-Anfang:
für n = 1: \( 3^{1+1} + 2^{3*1+1} = 3*3 + 2^3*2 = 9 + 16 = 25 \) ✅
Ind.-Schritt:
zeige für alle n € N, dass A(n+1) gilt, d.h. \( 5 | 3^{n+1+1} + 2^{3(n+1) +1} \) unter der Ind.-Annahme A(n).
Durch Umformen:
\( 3^{n+1+1} + 2^{3(n+1) +1} \)
\( = 3^{n+1+1} + 2^{3n+3+1} \)
\( = 3^{n+1+1} + 2^{3n+1+3} \)
\( = (3^{n+1} * 3) + (2^{3n+1} * 2^3) \)
Da sowohl für \(3^{n+1}\) als auch \(2^{3n+1}\) nach i.A. \(|5\) gilt, sind diese Ausdrücke auch multipliziert mit 3 bzw. 8 durch 5 teilbar.
Damit gilt A(n) für alle n € N.
Habe ich die Aufgabe so ausreichend gelöst? Was kann ich besser machen?