Teilbarkeit: 5 | 3^(n+1) + 2^(3n+1) - Vollständige Induktion

Question

Folgende Aufgabe habe ich denke ich ausreichend gelöst.

Ich möchte gerne wissen, ob mein Rechenweg bzw. die Begründung ganz am Ende ausreichen oder verbessert werden sollten.

Aufgabe:

zeige für alle n € N dass gilt: \( 5 | 3^{n+1} + 2^{3n+1} \)

Problem/Ansatz:

Ind.-Anfang:

für n = 1: \( 3^{1+1} + 2^{3*1+1} = 3*3 + 2^3*2 = 9 + 16 = 25 \)  ✅

Ind.-Schritt:

zeige für alle n € N, dass A(n+1) gilt, d.h. \( 5 | 3^{n+1+1} + 2^{3(n+1) +1}  \) unter der Ind.-Annahme A(n).

Durch Umformen:

\( 3^{n+1+1} + 2^{3(n+1) +1} \)

\( = 3^{n+1+1} + 2^{3n+3+1} \)

\( = 3^{n+1+1} + 2^{3n+1+3} \)

\( = (3^{n+1} * 3) + (2^{3n+1} * 2^3) \)

Da sowohl für \(3^{n+1}\) als auch \(2^{3n+1}\) nach i.A. \(|5\) gilt, sind diese Ausdrücke auch multipliziert mit 3 bzw. 8 durch 5 teilbar. 
Damit gilt A(n) für alle n € N.

Habe ich die Aufgabe so ausreichend gelöst? Was kann ich besser machen?

Answer 1

Habe ich die Aufgabe so ausreichend gelöst? Was kann ich besser machen?

Da sowohl für 3^(n+1) als auch 2^(3n+1) nach i.A. |5 gilt

Einzeln sind die Ausdrücke nicht durch 5 teilbar. Das sollte dir denke ich klar sein. Eine Dreierpotenz kann nie durch 5 teilbar sein.

Comments

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Zu zeigen

3^(n + 1) + 2^(3·n + 1) ist durch 5 teilbar.

Induktionsanfang: n = 0

3^(0 + 1) + 2^(3·0 + 1) ist durch 5 teilbar.
5 ist durch 5 teilbar
stimmt

Induktionsschritt: n → n + 1

3^((n + 1) + 1) + 2^(3·(n + 1) + 1) ist durch 5 teilbar.
3^(n + 1 + 1) + 2^(3·n + 3 + 1) ist durch 5 teilbar.
3·3^(n + 1) + 8·2^(3·n + 1) ist durch 5 teilbar.
3·3^(n + 1) + (3 + 5)·2^(3·n + 1) ist durch 5 teilbar.
3·3^(n + 1) + 3·2^(3·n + 1) + 5·2^(3·n + 1) ist durch 5 teilbar.
3·(3^(n + 1) + 2^(3·n + 1)) + 5·2^(3·n + 1) ist durch 5 teilbar.

3·(3^(n + 1) + 2^(3·n + 1)) ist durch 5 teilbar, weil (3^(n + 1) + 2^(3·n + 1)) durch 5 teilbar ist.
5·2^(3·n + 1) ist durch 5 teilbar, weil 5 durch 5 teilbar ist.

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