Vollständige Induktion Teilbarkeit beweisen

Question

Aufgabe: 9^n-1 ist durch 8 teilbar

Kann jemand mir sagen, was ich beim Induktionsschritt falsch gemacht habe?

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+4+5 ist falsch, da die 9 multipliziert wird.

Answer 1

IV: m*8=9^k-1

IS:

9^{k+1}-1

=9^k*9-1

=(m*8+1)*9-1

=m*8+9-1

=m*8+8

=(m+1)*8

:-)

Comments

Gerade wollte ich zeigen, dass es anders schneller geht, und dann machst du so etwas.

:-)

Bist aber auch noch nicht fertig. Am Ende sollen wir dann bestimmt alles von hinten nach vorne lesen.

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Ich hab es vervollständigt.

:-)

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Es steht 7:6 für dich.

:-)

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Ich hab es vervollständigt.

Dabei hast du n und m verwechselt.

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Wieso ist n*8=9k-1? Es sollte doch die Teilbarkeit durch 8 gezeigt werden.

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Das war die Induktionsannahme, da muss man nichts zeigen.

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Stimmt. könntest du mir erklären wie du auf diesen Ausdruck gekommen bist

=(n*8+1)*9-1

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Ich habe die IV nach 9^k aufgelöst, also +1 gerechnet.

:-)

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@Gasthj2166

Danke für den Hinweis.

:-)

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So war dsa nicht gemeint, sondern ich hatte (bezogen auf deine ursprüngliche Version)  m = 9n im Sinn.

Answer 2

Ind.A 8|(9-1)

Ind.Annahme

( da war der Feher von an nach an+1)

8| (9^n -1)

8| (9^n -1)*(9-1)

8| (9^(n+1)  - 9 -9^n +1)       -1 +1

8| (9^(n+1) -1  - 9 +1-9^n +1) Klammern

8|( (9^(n+1)-1) - (9 -1) - (9^n -1))

8|( (9^(n+1)-1) - 8 - (9^n -1) )

Ausgewählte Vielfache von 8 streichen

8| (9^(n+1)-1) Induktion Schluss

wie zu zeigen war

Schneller geht de Beweis aber anders

9Ξ1 mod 8

9^nΞ 1 mod 8

9^n -1 = 0 mod 8   8| (9^n -1)

Doch es sollte ja die Vollständige Induktion sein.

Comments

Schneller geht de Beweis aber anders

oder z.B. mit der Summenformel für geometrische Reihen

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8| (9^(n+1)  - 9 -9n +1)      -1 +1

Habe leider nicht verstanden wie du hierauf kommst. Und ja es muss mit der Vollständigen Induktion gezeigt werden.

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Hinten steht nur, was ich als nächstes vorhabe, vorne ist es das Ergebnis der Multiplikation. -1+1=0, dadurch ändert sich ja nichts.

Answer 3

Zu zeigen
8 | 9^n - 1

Induktionsanfang: n = 1
8 | 9^1 - 1
8 | 8 → wahr

Induktionsschritt: n → n + 1
8 | 9^(n + 1) - 1
8 | 9·9^n - 1
8 | 8·9^n + 9^n - 1
8 | (8·9^n) + (9^n - 1) → wahr, da beide Summanden durch 8 teilbar sind.

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Genau darauf wollte ich hinaus, kann es leider nicht mehr als Beste Antwort markieren :(

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Nicht so wild. Hauptsache ist doch das du es verstanden hast und ich dir helfen konnte.