Aufgabe:
Zeige für alle n € N, dass \( 3 | (n^3 + 2n) \)
Ansatz:
Ind.-Anfang: für n = 1 // genügt das Zeigen im Anfang für ein n?
\( (n^3 + 2n) = 1^3 + 2*1 = 3 \)
Ind-Schritt:
z.Z. dass für alle n € N A(n+1) gilt, d.h. es gelte \( 3 | (n+1)^3 + (2*(n+1)) \)
unter der Induktions-Annahme A(n).
Durch Umformen:
\( (n+1)^3 + (2*(n+1)) \)
\( = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 2n + 2 \)
\( = n^3 + 3n^2 + 5n + 3 \)
\( = n^3 + 2n + 3n^2 + 3n + 3 \)
Durch die Ind-Annahme gilt \( 3|n^3 + 2n \) und da \(3n^2\), \(3n\) und 3 ebenfalls durch 3 teilbar sind, gilt A(n) für alle n € N.
// An welchen Stellen sollte ich etwas umformulieren?
