euklidischer Vektorraum: Identität beweisen und skizzieren

Question

Aufgabe: Es sei \(V\) ein euklidischer Vektorraum, \(x, y \in V\) und \(\alpha\) der Winkel zwischen \(x\) und \(y\). Beweisen Sie die Identität:

\(\|x-y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 -2\cdot \|x\|\cdot \|y\| \cos(\alpha)\)

Veranschaulichen Sie die Identität für \(V = \mathbb{R}^2\) durch eine Skizze.

Problem/Ansatz: Ich übe zur Zeit für meine anstehende Klausur, jedoch weiß ich einfach nicht, wie ich die Aufgabe lösen kann :/. Wäre froh über ein paar Antworten :)

Answer 1

Hallo :-)

Nutze die Definition für Winkel zweier Vektoren \(x,y\in V\):

\(\cos(\alpha)=\frac{\langle x,y \rangle}{\|x\|\cdot \|y\|}\), bzw.,  \(\langle x,y \rangle=\cos(\alpha)\cdot \|x\|\cdot \|y\|\).

Betrachte jetzt

$$ \|x-y\|^2=\langle x-y,x-y\rangle=... $$

Comments

Danke erstmal für die Antwort. Allerdings weiß ich nicht so ganz weiter. Wäre hilfreich, wenn Sie mir noch weiter helfen könnten...

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Rechne doch einfach das Skalarprodukt \(\langle x-y,x-y\rangle \), indem du die bekannten Rechengesetze benutzt.