Beweis alternierende Summe von Binomialkoeffizienten = 0

Question

Aufgabe:

\( \begin{pmatrix} n\\0 \end{pmatrix} \) - 2*\( \begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix} \) + 3*\( \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} \) - 4*\( \begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix} \) + ... + (-1)ⁿ * (n+1) * \( \begin{pmatrix} n\\n \end{pmatrix} \) = 0

Problem/Ansatz:

= \( \sum\limits_{p=0}^{n}{(-1)^p * (p+1) * \begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix}} \)

Die Summe von (x-y)ⁿ ergibt wenn x=y=1 ist 0. Könnte mir jemand sagen, wie ich hier vorgehen muss?

Comments

Die Gleichung \(\begin{pmatrix} n\\0 \end{pmatrix} \) - 2*\( \begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix} \) + 3*\( \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} \) - 4*\( \begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix} \) + ... + (-1)n * (n+1) * \( \begin{pmatrix} n\\n \end{pmatrix} \) = 0 gilt nur für n>1. Für n=1 gilt sie nicht.

Der Ansatz ist richtig. Versuche es mal mit vollständiger Induktion.

Answer 1

Es ist leicht zu sehen, dass für \(n\geq 2,k\geq 1, k\leq n\) gilt:

\(k{n \choose k}=n{{n-1} \choose {k-1}}\).

Ferner haben wir den binomischen Satz

\(0=(1-1)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}(-1)^k\) zur Verfügung, also$$\sum_{k=0}^n(-1)^k(1+k){n \choose k}=\sum_{k=0}^n(-1)^k{n \choose k}+\sum_{k=0}^n(-1)^kk{n\choose k}=$$$$=\sum_{k=1}^n(-1)^kk{n \choose k}=\sum_{k=1}^n(-1)^k n{{n-1}\choose {k-1}}=$$$$=(-n)\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i{{n-1}\choose i}=(-n)(1-1)^{n-1}=0.$$

Comments

Vielen Dank!

Kannst du mir noch erklären wie ich von

\(\sum_{k=0}^n(-1)^k{n \choose k}+\sum_{k=0}^n(-1)^kk{n\choose k}\) auf \(=\sum_{k=1}^n(-1)^kk{n \choose k}\) komme?

Ich weiß, dass \(\sum_{k=0}^n(-1)^k{n \choose k}\) = 0, aber was passiert mit \(\sum_{k=0}^n(-1)^kk{n\choose k}\) nach \(\sum_{k=1}^n(-1)^kk{n \choose k}\). Woher kommt auf einmal das k=1?

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Hallo,
die erste Summe ist Null, wurde am Anfang bereits gesagt.
Für k=0 verschwindet der Summand mit k=0 in der zweiten Summe,
kann also weggelassen werden.

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Super, vielen Dank! Das mit Summe aufteilen, usw. haben wir nie wirklich gesehen.

Answer 2

Tipp: Gegenereignisse betrachten beim Zählen.

Du hast es mit einer "alternierenden" Summe zu tun.

Allenfalls brauchst du eine Fallunterscheidung in gerade und ungerade Anzahl Summanden.

Und hast dann zumindest mal den einen Fall direkt.

Spoiler: https://www.mathelounge.de/60643/binomialkoeffizienten-beweise-summe-von-n-tief-k-1-k-gibt-0