Aloha :)
Wir wenden zuerst die Regel \(\binom{n+1}{k+1}=\frac{n+1}{k+1}\binom{n}{k}\) für den Binomialkoeffizienten an:$$\phantom{=}\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{k+1}=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{n+1}{k+1}(-1)^k=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n\binom{n+1}{k+1}(-1)^k$$
Jetzt machen wir eine Indexverschiebung, indem wir \(k\) von \(1\) bis \(n+1\) laufen lassen und dafür bei den Summanden \(k\) um \(1\) vermindern:$$=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=1}^{n+1}\binom{n+1}{k}(-1)^{k-1}$$
Würde die Summe bei \(k=0\) beginnen, wäre sie um \(\binom{n+1}{0}(-1)^{0-1}\) größer. Das nutzen wir aus und lassen die Summe tatsächlich bei \(k=0\) beginnen und ziehen den obigen Wert wieder ab.$$=\frac{1}{n+1}\left(\sum\limits_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}(-1)^{k-1}\,\underbrace{-\binom{n+1}{0}(-1)^{0-1}}_{=+1}\right)$$
Jetzt kommt der binomische Lehrsatz zur Anwendung:$$=\frac{1}{n+1}\left(-\underbrace{\sum\limits_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\cdot1^{(n+1)-k}\cdot(-1)^k}_{=\text{binomischer Lehrsatz}\implies(1+(-1))^{n+1}}+1\right)$$$$=\frac{1}{n+1}\left(-\underbrace{(1+(-1))^{n+1}}_{=0}+1\right)=\frac{1}{n+1}$$
