Aufgabe zur Integralrechnung

Question

Es sei \( S \subset \mathbb{R}^{3} \) die Fläche gegeben durch
\( S:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z+\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=1, z \geq 0\right\} \)
(a) Bestimmen Sie \( B \subset \mathbb{R}^{2} \) und \( f: B \rightarrow \mathbb{R} \) derart, dass sich \( S \) als Graph der Funktion \( f \) schreiben lässt.
(b) Berechnen Sie die Flächeninhalt \( \sigma(S) \).
(c) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Randkurve \( \partial S \) an.
(d) Berechnen Sie für das Vektorfeld \( \vec{v}(x, y, z)=(y z, 0, x y / 2) \) das Integral
\( \int \limits_{S}\langle\operatorname{rot}(\vec{v}), \vec{n}\rangle \mathrm{d} \sigma, \)
wobei \( \vec{n} \) den Einheitsnormalenvektor mit positiver \( z- \) Komponente bezeichnet.

Comments

Das sind mir zu viele Aufgaben in einer...

Wo hast du denn am meisten Probleme?

Answer 1

\( z+\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=1, z \geq 0 \) lässt sich umschreiben in \(x^2+y^2=4(1-z)\)

x^2+y^2=r^2 ist die Gleichung eines Kreises.

Für jedes beliebige feste z zwischen 0 und 1 beschreibt \(x^2+y^2=4(1-z)\) also einen Kreis mit dem Radius \( \sqrt{4(1-z)} \).

In der Ebene z=0 hat dieser Kreis den Radius 2, in der Ebene z=0,5 den Radius \( \sqrt{2} \), in der Ebene z=0,75 den Radius 1  und in der Ebene z=0 den "Radius" 0.

Auflösen einer solchen Kreisgleichung nach y liefert die Gleichung für zwei Halbkreise. Die Kreisgleichung selbst ist keine Funktion, die Gleichung des einzelnen Halbkreises ist eine Wurzelfunktion.