Integralrechnung(Aufgabe , Wurzel)

Question

Aufgabe:

Könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen?

$$\int \limits_{a}^{b}\sqrt{w}*\sqrt[3]{u^2}du$$

Problem/Ansatz:

$$\int \limits_{a}^{b}\sqrt{w}*\sqrt[3]{u^2}du \int \limits_{a}^{b}w^{1/2}*u^{1/3}du \int \limits_{a}^{b} u^{1/3}du = \frac{3}{4}u^{4/3} =>\sqrt{w}(\frac{3}{4}u^{4/3}) = \sqrt{w}(\frac{3}{4}\sqrt[3]{u^4})$$

Answer 1

\(\begin{aligned}&\int_a^b \sqrt{w}\cdot\sqrt[3]{u^2}\,\mathrm{d}u\\=\,&\sqrt{w}\cdot\int_a^b u^{\frac{2}{3}}\,\mathrm{d}u\\=\,&\sqrt{w}\cdot\left[\frac{3}{5}u^{\frac{5}{3}}\right]_a^b\\=\,&\frac{3}{5}\sqrt{w}\cdot\left[u^{\frac{5}{3}}\right]_a^b\\=\,&\frac{3}{5}\sqrt{w}\cdot\left(b^{\frac{5}{3}}-a^{\frac{5}{3}}\right)\end{aligned}\)

Comments

Danke für deine Antwort :)

Unter Integrationsrechner stand was ganz anderes(nicht meine Lösung)..

Deswegen komme ich jetzt durcheinander, da ich nicht weiß, was nun die richtige Lösung ist.

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Bei welcher meiner Umformungen ist dir nicht klar, welche Regel angewendet wurde?

Bei welcher meiner Umformungen ist dir nicht klar, warum die Regel angewendet werden darf?

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Sry habe vergessen die ursprüngliche Aufgabe anzugeben, das da war nur mein Ansatz:

Aufgabe:$$\int \limits_{}^{}\sqrt{w*\sqrt[3]{u^{2}}}du$$

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Das Integral

        \(\int \limits_{a}^{b}\sqrt{w*\sqrt[3]{u^{2}}}\,\mathrm{d}u\)

kann mit Potenz- und Wurzelgesetzen umgeformt werden zu

        \(\int \limits_{a}^{b}\sqrt{w}\cdot{|u|^{\frac{1}{3}}}\,\mathrm{d}u\).

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Ist mein Ansatz dann richtig oder falsch?

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\(\int \limits_{a}^{b}\sqrt{w}*\sqrt[3]{u^2}du \int \limits_{a}^{b}w^{1/2}*u^{1/3}du \int \limits_{a}^{b} u^{1/3}du\)

Welche Regel hast du verwendet um das Integral in ein Produkt aus drei Integralen umzuwandeln?

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Das sollte eigentlich kein Produkt sein, sondern getrennt voneinander.

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Durch was sollten die Integrale getrennt werden?

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Mein Fehler. Hab ich vergessen.

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Wenn du vergessen hast, durch was die Integrale getrennt werden sollen, dann kann ich nicht entscheiden, ob dein Ansatz richtig oder falsch ist.

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\(\int \limits_{a}^{b}\sqrt{w}*\sqrt[3]{u^2}du =\int \limits_{a}^{b}w^{1/2}*u^{1/3}du  =   =\sqrt{w}(\frac{3}{4}u^{4/3}) = \sqrt{w}(\frac{3}{4}\sqrt[3]{u^4})\)

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\(\int \limits_{a}^{b}\sqrt{w}*\sqrt[3]{u^2}du\) ...

Du hast gegenüber \(\int \limits_{a}^{b}\sqrt{w\cdot\sqrt[3]{u^2}}\mathrm{d}u\) einfach nur den Teil \(\sqrt[3]{u^2}\) aus der Wurzel rausgezogen. Das darfst du nicht.

\(... =\int \limits_{a}^{b}w^{1/2}*u^{1/3}du\)

Ab hier stimmt's wieder.

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Und das Endergebnis?

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Laut dem Integralrechner ist das richtige Ergebnis w*3u^7/3/(4|u|) + C und nicht

w*3/4 u^(4/3) +C

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Allgemein gilt \(\sqrt{a \cdot b } = \sqrt a\, \cdot \sqrt b\). Also kannst Du auch schreiben$$\int \limits_{a}^{b}\sqrt{w\cdot\sqrt[3]{u^2}}\,\mathrm{d}u = \int \limits_{a}^{b}\sqrt{w}\, \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u^2}}\,\mathrm{d}u$$Und das \(w\) ist doch keine Funktion von \(u\) (oder?) Folglich ist das nur ein Faktor. Weiter hebt sich das Quadrat mit der Wurzel auf (mit Betrag). Also steht dann da$$ \int \limits_{a}^{b}\sqrt{w}\, \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u^2}}\,\mathrm{d}u = \sqrt{w} \int \limits_{a}^{b} \sqrt[3]{|u|}\,\mathrm{d}u$$und das ist nur \(u^{\frac13}\) und wird ganz normal integriert$$ \sqrt{w} \int \limits_{a}^{b} \sqrt[3]{|u|}\,\mathrm{d}u = \sqrt w \left[\frac 34 |u|^{\frac 43}\right]_{a}^{b}$$vorausgesetzt \(u\) ändert in Intervall \([a;b]\) das Vorzeichen nicht.

Laut dem Integralrechner ist das richtige Ergebnis \(w\cdot\frac{3u^{7/3}}{4|u|} + C\)

Dann hätte im Integral \(w\) und nicht \(\sqrt w\) gestanden. Ansonsten ist das bis auf den Betragstrich das gleiche wie bei mir.

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Danke :)

Leider kam beim Integralrechnung was anderes heraus.

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Leider kam beim Integralrechnung was anderes heraus.

Nein - im Grunde nicht. Schau mal genau hin!

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Sry, meinte sqrt(w) * 3u^(7/3)/4|u| + C statt w...

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Sry, meinte sqrt(w) * 3u^(7/3)/4|u| + C statt w...

Ja eben!! ich bin schon davon ausgegangen, dass das bloß ein Tippfehler Deinerseits gewesen ist. Mein Ergebnis und das des Integralrechners ist das gleiche !$$\sqrt{w} \cdot 3u^{7/3}/(4|u|) + C = \sqrt w \cdot \frac 34 |u|^{\frac 43} + C$$wenn man mal unterstellt, dass \(u \ge 0\) ist.

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Wollte nur sichergehen , ob sich u>- 0 auf das 1 und das umgeformte Ergebnis bezieht.

Answer 2

\( \sqrt{w} \) ist eine Konstante. \sqrt{\( \sqrt[3]{u^2} \)} =\( u^{\frac{1}{3}} \).

Comments

\(\int \limits_{a}^{b}\sqrt{w}*\sqrt[3]{u^2}du =\int \limits_{a}^{b}w^{1/2}*u^{1/3}du =  =\sqrt{w}(\frac{3}{4}u^{4/3}) = \sqrt{w}(\frac{3}{4}\sqrt[3]{u^4})\)