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Wie integriert man sowas?

∫ \( \left(-6 x^{2}\right) \sqrt[4]{2 x^{3}-2} \) dx

Bitte mit Erklärung

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Hallo,

Tipp: Oft führt bei solchen Aufgaben eine Substitution , mit dem was unter Wurzel steht , zum Erfolg.

Substituiere z= 2x^3-2

dz/dx= 6x^2

dx=dz/6x^2  ( 6x^2 kürzen)

eingesetzt in den Integranden:

= - ∫ \( \sqrt[4]{z} \) dz

 \( =-\frac{4 z^{5 / 4}}{5} \) +C --->Resubstitution z= 2x^3-2

\( =-\frac{4}{5}\left(2 x^{3}-2\right)^{5 / 4} \) +C

Avatar von 121 k 🚀

Woher kommt die 4 vor dem z? -z^1/4 ist doch aufgeleitet -z^5/4 ÷ 5

Oder was übersehe ich hier?

Hallo,

\( \sqrt[4]{z} \)  =\( z^{1/4} \)

hier ist n=1/4

allgemein gilt:

\( \int z^{n} \mathrm{~d} z=\frac{1}{n+1} z^{n+1}+C \)

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Aloha :)

$$\phantom{=}\int(-6x^2)\sqrt[4]{2x^3-2}\,dx=-\int\sqrt[4]{2x^3-2}\cdot6x^2dx=-\int\sqrt[4]{2x^3-2}\,d(2x^3)$$$$=-\int\left(2x^3-2\right)^{\frac{1}{4}}\,d(2x^3)=-\frac{\left(2x^3-2\right)^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}}+\text{const}=-\frac{4}{5}\left(2x^3-2\right)^{\frac{5}{4}}+\text{const}$$

Avatar von 152 k 🚀

Was ist das für eine Methode?

Was ist das für eine Methode?

das ist eine Substitutionsmethode von Leuten, die abstrakt denken können. Denen es egal ist, ob da vorher jemand \(z=2x^3\) geschrieben hat,

oder ❤️\(=2x^3\) oder ob man das \(2x^3\) einfach so stehen lässt.

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