Integral mit vierter Wurzel

Question

Wie integriert man sowas?

∫ \( \left(-6 x^{2}\right) \sqrt[4]{2 x^{3}-2} \) dx

Bitte mit Erklärung

Answer 1

Hallo,

Tipp: Oft führt bei solchen Aufgaben eine Substitution , mit dem was unter Wurzel steht , zum Erfolg.

Substituiere z= 2x^3-2

dz/dx= 6x^2

dx=dz/6x^2  ( 6x^2 kürzen)

eingesetzt in den Integranden:

= - ∫ \( \sqrt[4]{z} \) dz

 \( =-\frac{4 z^{5 / 4}}{5} \) +C --->Resubstitution z= 2x^3-2

\( =-\frac{4}{5}\left(2 x^{3}-2\right)^{5 / 4} \) +C

Comments

Woher kommt die 4 vor dem z? -z^1/4 ist doch aufgeleitet -z^5/4 ÷ 5

Oder was übersehe ich hier?

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Hallo,

\( \sqrt[4]{z} \)  =\( z^{1/4} \)

hier ist n=1/4

allgemein gilt:

\( \int z^{n} \mathrm{~d} z=\frac{1}{n+1} z^{n+1}+C \)

Answer 2

Aloha :)

$$\phantom{=}\int(-6x^2)\sqrt[4]{2x^3-2}\,dx=-\int\sqrt[4]{2x^3-2}\cdot6x^2dx=-\int\sqrt[4]{2x^3-2}\,d(2x^3)$$$$=-\int\left(2x^3-2\right)^{\frac{1}{4}}\,d(2x^3)=-\frac{\left(2x^3-2\right)^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}}+\text{const}=-\frac{4}{5}\left(2x^3-2\right)^{\frac{5}{4}}+\text{const}$$

Comments

Was ist das für eine Methode?

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Was ist das für eine Methode?

das ist eine Substitutionsmethode von Leuten, die abstrakt denken können. Denen es egal ist, ob da vorher jemand \(z=2x^3\) geschrieben hat,

oder ❤️\(=2x^3\) oder ob man das \(2x^3\) einfach so stehen lässt.