f(x) = √x integrieren. Was mach ich mit der Wurzel? Integralrechnung

Question

f(x)= √x  

das Ergebnis ist F(x)=2/3 x^1,5

kann mir jemand erklären wie man unter der wurzel aufleitet

Answer 1

Man kann hier Potenzgesetze anwenden.

f(x) = √x = x^{1/2}

Bekannt ist bestimmt:

f(x) = x^n; F(x) = 1/ (1+n) * x^{n+1}

Jetzt nimmst du n = 1/2

und hast F(x) = 1/ ( 1 + 1/2)  * x^{1+ 1/2} = 1/(3/2)   * x^{3/2} = 2/3 * x^{1.5}

Comments

aber warum nimmt man denn n = 1/2 ?

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Wurzeln können mit gebrochenen Exponenten geschrieben werden.

Vgl. Standardfall hier https://www.matheretter.de/wiki/wurzelgesetze

Bei Umwandlung einer Wurzel in eine Potenz geht der Wurzelexponent in den Exponenten der Potenz wie folgt über:

$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ x^\color{blue}{b} } = x^{\frac { \color{blue}{b} }{ \color{red}{a} }} $$

Dies ist immer problemlos möglich, wenn x positiv ist und a eine natürliche Zahl. Ansonsten kann es unter Umständen zu Widersprüchen kommen.

Wenn wir den 'Standardfall' haben, also einfach eine Wurzel aus einer Zahl ziehen, dann können wir so umwandeln:

$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ x } = \sqrt [ \color{red}{a} ]{ x^1 } = x^{\frac { 1 }{ \color{red}{a} }} $$

Deshalb ist f(x) = √x = x^{1/2}   und der Exponent ist 1/2.

Die Integrationsregel für Potenzen gelten auch bei gebrochenen Exponenten.

Answer 2

\(f(x)= \sqrt{x} \)

\(F(x)= \int\limits_{}^{}\sqrt{x}  dx \)

Substitution:

\(\sqrt{x}=u  |^2\)

\(x=u^2\) 

\(\frac{dx}{du}=2u\)

\(dx=2u du\)

\(F(x)= \int\limits_{}^{}\sqrt{x}  dx = \int\limits_{}^{}u \cdot 2u du= 2\int\limits_{}^{}u^2 du=\frac{2}{3}u^3\)

Re-Substitution:

\(F(x)= \int\limits_{}^{}\sqrt{x}  dx=\frac{2}{3}(\red{\sqrt{x}})^3=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C \)

Erläuterung :\( \red {\sqrt{x}} \) lässt sich auch so schreiben  \( x^{\frac{1}{2}} \)