Integrieren einer gebrochenrationalen Funktion mit Ln und Wurzel

Question

Hallo Mathefreunde,

Ich habe ein kleines Problem, und zwar möchte ich die gegebene Funktion Integrieren und die Fläche im gegebenen Intervall bestimmen. Jedoch fehlt mir jeglicher Ansatz, um die Funktion zu integrieren. Ich nehme an das Ich über Substitution auf die Lösung komme nur sitze ich vor meinem Blatt mit dampfendem Kopf ohne Ansatz. Ich hoffe ihr könnt mir einen detaillierten Lösungsweg verraten

Die Formel lautet:

\( \int \limits_{1}^{e} \boxed{}  \mathrm{f}(x)=\frac{2^{*} \ln (\sqrt{X})}{X} d x \)

hoffe auf eure Hilfe,

,

Basti

Answer 1

Substituiere mal mit u = ln(√x)

Du kommst so auf die Stammfunktion F(x) = LN(x)^2/2

Dann kannst du auch das bestimmte Integral berechnen.

Comments

Danke soweit, nach dem Substituieren komme ich auf dx=(2/x)*Du jedoch weis ich dann nicht weiter. Auf die Lösung komme ich da Ln(Wurzel x) abgeleitet 1/2X ist und das stelle ich nach dx um. Richtig?

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∫ 2·LN(√x)/x dx

Substitution

u = LN(√x) = 1/2·LN(x)
1 du = 1/(2·x) dx
dx = 2·x du

∫ 2·u/x·(2·x) du
∫ 4·u du
2·u^2

Resubstitution

2·(1/2·LN(x))^2
LN(x)^2 / 2