Wurzel mit Konstanter integrieren

Question

Aufgabe:

  Das Integral: \( \sqrt{a^{2} + x^{2}} dx \)= \( \frac{1}{2} \) * x \( \sqrt{a^{2} + x^{2}} \) +\( \frac{a^{2}}{2} \) \( sin^{-1} \) \( \frac{x}{a} \) +c

Text erkannt:

It is of form
\( \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x=\frac{1}{2} x \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}+c \)

Bin hier gerade maximal verwirrt, wo kommt da auf einmal der Sinus her??

Ganzer Artikel:

https://www.teachoo.com/3346/732/Example-2---Find-area-enclosed-by-ellipse-x2-a2---y2-b2--1-/category/Examples/

Comments

Dein Integralrechner erinnert mich an einen Kiosk in Rom.

Bei meinem letzten Rom-Urlaub habe ich Erinnerungsfotos - auch vom Kolosseum - gemacht.
Später kam ich an besagtem Kiosk vorbei, wo Bild-Poskarten angeboten wurden. Die Bilder darauf - auch vom Kolosseum - waren weitaus schöner und professioneller als meine, trotzdem liebe ich meine mehr als jene - weil sie selbstgemacht sind und mir das eine gewisse Befriedigung und Zufriedenheit gibt.
Außerdem werde ich nurch das Kaufen und Betrachten jener Postkarten niemals zu einem besseren Photographen werden sondern nur durch beharrliche eigene Erfahrungen mit meiner Kamera.

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Schöne Geschichte, ich würde die Aufgabe gerne selber rechnen, nur weiß ich eben nicht wie.

Und auf die Idee es in einen Integralrechner einzugeben bin ich auch schon gekommen.

Wieso man da dann aber mit cos/sin substituiert bleibt mir weiterhin ein Rätsel

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Auch ein schlechter Fotograf kann von Postkarten etwas lernen bzgl. Motivwahl, Standpunkt, Betrachtungswinkel etc.

Und der wesentliche Vorteil. Er kommt zunächst ohne die Hilfe von anderen schlechten Fotografen aus und kann zunächst versuchen selber etwas zu lernen. Wenn dann noch Probleme bestehen, kann man ja immer noch einen anderen schlechten Fotografen fragen.

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Wieso man da dann aber mit cos/sin substituiert bleibt mir weiterhin ein Rätsel

Der Trick einer Substitution besteht darin, dass das Integral was man nach der Substitution bekommt, leichter zu integrieren ist als vor der Substitution.

Im zweifel versucht man mit einer Substituiton das Integral in eine Form zu bringen die man evtl. schon kennt.

Wenn du z.B. das Integral ∫(√(1 - x^2)) dx bereits mal hattest oder es in der Formelsammlung steht, dann könnte man auch das Integral probieren in genau diese Form zu bringen.

∫(√(a^2 - x^2)) dx

= ∫(a·√(1 - (x/a)^2)) dx

= a·∫(√(1 - (x/a)^2)) dx

Subst. z = 1/a·x und 1 dz = 1/a dx

= a·∫(√(1 - z^2))·a dz

= a^2·∫(√(1 - z^2)) dz

= a^2·(ASIN(z)/2 + z·√(1 - z^2)/2 + C)

Resubst.

= a^2·(ASIN(x/a)/2 + z·√(1 - (x/a)^2)/2 + C)

= a^2·(ASIN(x/a)/2 + x/a·√(1 - (x/a)^2)/2 + C)

= a^2·ASIN(x/a)/2 + x·√(a^2 - x^2)/2 + D

Die Integration von ∫(√(1 - x^2)) dx hat man dabei zweckmäßiger Weise schon einmal früher im Studium gemacht gehabt und ist ab dann auch dem Skript oder geeigneten Formelsammlung entnehmbar gewesen.

Answer 1

mit Rechenweg:

https://www.integralrechner.de/