Sei E die Ebene, die die Gerade g und den Punkt P enthält. Hessesche Normalform von E?

Question

Sei E die Ebene, die die Gerade G und den Punkt P enthält:

\( g: \vec{x}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]+\lambda\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right] \quad \lambda \epsilon \mathfrak{R} \quad P=(1,1,0) \)

Ermitteln sie die hessesche Normalform.

Ich weiß wie ich die HNF bilde, nur bei der Ebene habe ich Probleme.

Answer 1

Ab einfachsten bestimmen wir hier einen weiteren Vektor, der in der Ebene liegen muss und stellen damit die Parameterform der Ebene auf.
Um den weiteren Vektor zu bestimmen nehme ich einfach den Punkt P minus dem Ortsvektor der Geraden g.

E: X = [0, 1, 2] + r * [1, 1, 2] + s * ([1, 1, 0] - [0, 1, 2])

E: X = [0, 1, 2] + r * [1, 1, 2] + s * [1, 0, -2]

Nun kannst du ganz entspannt aus der Parametergleichung der Ebene eine HNF machen.