Abstand Punkt - Gerade mittels Verfahren

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - könnten Sie mir bitte bei folgender Aufgabe helfen und die einzelnen Rechenschritte schreiben?

b) Formulieren Sie allgemein die Schritte zur Bestimmung eines Punktes R (r1/r2/r3) von einer Gerade g: x = (p1/p2/p3) + t * (u1/u2/u3) mithilfe der Hilfsebene.

- H: u1x1 + u2x2 + u3x3 = c

R in H einsetzen - H: u1r1 + u2r2 + u3r3 = c

- c berechnen - c = ?

- H: u1x1 + u2x2 + u3x3 = ?

- k. A.; mir fehlt für die weitere Berechnung c.

c) Formulieren Sie allgemein die Schritte zur Bestimmung eines Punktes R (r1/r2/r3) von einer Gerade g: x = (p1/p2/p3) + t * (u1/u2/u3) mithilfe des Skalarproduktes (orthogonal).

- F(t) (p1 + u1t/ p2 + u2t / p3 + u3t)

- RF(t) = (p1 + u1t/ p2 + u2t / p3 + u3t) - (r1/r2/r3) = (p1 + u1t - r1/ p2 + u2t - r2/ p3 + u3t -r3)

- RF(t) * (u1/u2/u3) = k. A.

- wie rechne ich nun weiter?

Vielen Dank.

Answer 1

Hallo,

- k. A.; mir fehlt für die weitere Berechnung c.

Nein - Du hast die Berechnung bereits oben selbst hin geschrieben ;-)

R in H einsetzen - H: u1r1 + u2r2 + u3r3 = c

Der Normalenvektor \(u\) und der Punkt \(R\) sind doch bekannt. Bilde aus diesen beiden das Skalarprodukt und Du bekommst das \(c\). Die Hilfsebene \(H\) verläuft senkrecht zu \(u\) und enthält den Punkt \(R\). Folglich ist ihre Gleichung$$H:\quad x \cdot u = R \cdot u$$

Jetzt geht es ja darum, den Schnittpunkt \(F\) der Geraden \(g\) mit der Ebene \(H\) zu berechnen. Die Gerade \(g\) ist$$g:\quad x = P + t\cdot u$$Einsetzen in \(H\) gibt:$$\begin{aligned} (P + t\cdot u) \cdot u &= R \cdot u \\ P\cdot u + t\cdot u^2 &= R \cdot u \\ t\cdot u^2 &= R \cdot u - P\cdot u\\ t\cdot u^2 &= (R-P)\cdot u\\ t_R&= \frac{(R-P)\cdot u}{u^2 }\\ \end{aligned}$$Damit erhält man einen Wert für \(t\), der den Schnittpunkt \(F\) beschreibt. Also$$F = g(t_R) = P + \frac{(R-P)\cdot u}{u^2 } \cdot u$$Achte darauf, dass Du das \(u\) nicht einfach so in den Zähler mit übernehmen kannst um es dann ggf. gegen den Nenner zu kürzen. Oben im Zähler steht ein Skalarprodukt und \(u\) ist ein Vektor.

Und der Abstand von \(R\) zu \(g\) ist dann die Länge der Strecke \(|RF|\). Aber das sollte klar sein.

zu c):

- F(t) (p1 + u1t/ p2 + u2t / p3 + u3t)
- RF(t) = (p1 + u1t/ p2 + u2t / p3 + u3t) - (r1/r2/r3) = (p1 + u1t - r1/ p2 + u2t - r2/ p3 + u3t -r3)
- RF(t) * (u1/u2/u3) = k. A.

besser man schreibt das in Vektor-Schreibweise. Der gesuchte Fußpunkt \(F\) liegt auf \(g\). Also gibt es ein \(t\), für das gilt$$F(t) = P + t \cdot u$$Der Vektor \(\vec{RF}=R-F\) muss senkrecht auf \(u\) stehen. Folglich ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich 0$$\begin{aligned}(R - F)\cdot u &= 0\\ (R - P - t \cdot u) \cdot u &= 0\\ (R-P)\cdot u - t \cdot u^2 &= 0\\ t_R &= \frac{(R-P)\cdot u}{u^2}\end{aligned}$$kommt natürlich das gleiche heraus.

Gruß Werner

Comments

Vielen, vielen Dank! Ich hätte aber noch einzelne Fragen - könnten Sie mir die bitte noch erklären?

H : x⋅u = R⋅u

Woher stammt hier das x? Soll dies einfach ein Vorfaktor sein oder stammt er aus einer vorherigen Gleichung? Ist es das c?

Der Normalenvektor \(u\) und der Punkt \(R\) sind doch bekannt. Bilde aus diesen beiden das Skalarprodukt und Du bekommst das \(c\).

Inwiefern beziehungsweise wozu dient das c noch? Wir haben im Unterricht hauptsächlich mit der Koordinatengleichung gearbeitet, weshalb ich auch die zahlreichen Vorrechnungen gemacht habe. Benötige ich das c überhaupt noch?

\(F(t) = P + t \cdot u\)

Damit ich das noch einmal richtig nachvollziehen kann - P steht hierbei für den Stützfaktor (p1/p2/p3) und u steht für den Richtungsfaktor (u1/u2/u3)? Richtig?

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$$H:\quad x\cdot u = R\cdot u$$Woher stammt hier das x?

Das \(x\) ist ein Vektor, so wie \(u\). Und das Produkt auf der rechten Seite ist die Konstante \(c\). Ausgeschrieben sieht es so aus:$$\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r_1\\ r_2\\ r_3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{pmatrix} = c$$bzw. so wie Du es geschrieben hast:$$x_1\cdot u_1 + x_2\cdot u_2 + x_3\cdot u_3 = r_1\cdot u_1 + r_2\cdot u_2 + r_3\cdot u_3 = c$$Es ist alles drei das selbe - nur eben in einer anderen Schreibweise. Wobei aber irgendwann die Schreibweise mit Vektoren vor zu ziehen ist, sonst sieht man den Wald vor Bäumen nicht ;-)

In dem Bild, was ich oben gepostet habe (klick mal drauf), ist$$u=\begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 2\end{pmatrix}, \quad R = \begin{pmatrix}2\\ 5\\ 4\end{pmatrix}$$und daraus folgt dann die konkrete Ebenengleichung$$\begin{aligned}H: \quad x \cdot \begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 2\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}2\\ 5\\ 4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 2\end{pmatrix} \\x \cdot \begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 2\end{pmatrix} &= 2\cdot(-1) + 2\cdot 5+2\cdot 4 \\x \cdot \begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 2\end{pmatrix} &= 16\end{aligned}$$Also \(c\) ist hier \(16\). Und da $$\quad x = \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}$$ kann man das auch als Koordinatengleichung schreiben$$H:\quad -x_1 + 2x_2 +2x_3 = 16$$

Damit ich das noch einmal richtig nachvollziehen kann - P steht hierbei für den Stützfaktor (p1/p2/p3) und u steht für den Richtungsfaktor (u1/u2/u3)? Richtig?

das ist richtig.