Ebenengleichung - Abstand zwischen Punkt & Ebene

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - könnten Sie mir bitte bei folgender Aufgabe b) helfen?

a) Bestimmen Sie die zur Ebene E: 4x1 + 4x2 -7x3 =40,5 orthogonale Gerade g durch O(0|0|0) und den Schnittpunkt F der Geraden g mit der Ebene E.
→ F(2/2/-3.5); g: x = (0/0/0) + t *(4/4/-7)

b) Bestimmen Sie alle Punkte auf g, die von der Ebene E den Abstand 3 haben.
→ bei b) habe ich folgende Formel angewandt - d = I (4 * 4r + 4 * 4r +(- 7) * (-7r) - 40,5) / (wurzel(4²+4²+7²)) I = 3

In der Folge kam ich auf 81r - 40,5 = 27 (umgerechnet & *9) - anschließend habe ich + 40,5 gerechnet und durch 81 geteilt. Als Ergebnis kommt bei mir für r = 61,5/81 & (- 61,5/81) heraus. Kann bzw. stimmt das Ergebnis? Falls nicht, wo liegt mein Fehler? Könnten Sie mich bitte korrigieren? Und reich das nun bereits aus, oder müsste ich das r noch in die Geradengleichung g einsetzen?

Vielen Dank!

Answer 1

Die Geradengleichung ist richtig. Mit t=0,5 ergibt sich der Geradenpunkt F, der -wie du leicht selbst nachrechnen kannst- tatsächlich in E liegt.

bei b) habe ich folgende Formel angewandt

Ich denke lieber nach, aber das ist Geschmachssache. Der Richtungsvektor deiner Geraden hat den Betrag \( \sqrt{4^2+4^2+(-7)^2})=9 \).

Ein Drittel dieses Richtungsvektors hat den Betrag 3. Wenn du also Geradenpunkte suchst, die zu F den Abstand 3 haben, musst du zum Ortsvektor von F ein Drittel des Vektors (4|4|-7) addieren (oder subtrahieren).

Comments

Okay, danke.

Aber wird in Teilaufgabe b) nicht nach einer Geradengleichung gesucht? Beziehungsweise soll ich doch alle Punkte angeben?

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Auf dieser Geraden gibt es nur zwei Punkte mit der geforderten Eigenschaft-

Da ist nicht nochmal eine Geradengleichung gesucht, die hast du mit

g: x = (0/0/0) + t *(4/4/-7)

bereits im Teil a) richtig angegeben.