wie lange braucht das Riesenrad für eine Umdrehung?

Question

Aufgabe:

Die Höhe h einer Gondel Über dem Boden in Metern in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden kann durch folgende Funktion modelliert werden :

h(t) = 30,5*sin(0,0246(t-63,75))+34,25

Die Gondel befindet sich zum Zeitpunkt t=0 in der tiefsten Position.

Durchmesser = 61m

Maximum = 64,75 m

1) wie lange braucht das Riesenrad für eine Umdrehung ?

2) bewegt sich die betrachtete Gondel zum Zeitpunkt T gleich 100 Sekunden nach oben oder nach unten ? wie groß ist zu diesem Zeitpunkt die Vertikalgeschwindigkeit (momentane Höhenänderung) ?

Problem/Ansatz:

1) eine Umdrehung würde ja 360 Grad entsprechen ?

Könnte man man dem Durchmesser den Umfang berechnen und damit die Strecke s ausrechnen ? Kann man hier mit t=s/v ansetzen ?

2) Für h(100) kommt 57,98 heraus.

Muss ich für die momentane Höhenänderung die erste Ableitung bilden und über die Steigung an die Aufgabe gehen ? Könnte man auch einen zweiten Punkt nehmen z.B. das Maximum und daraus die Steigung mit h2(t) - h1(t)/ t2 - t1 Berechnen ?

Answer 1

So sieht der Graph aus:

~plot~ 30,5*sin(0,0246(x-63,75))+34,25;[[0|1000|0|70]] ~plot~

sin-Werte wiederholen sich immer , wenn der Term von dem der

sin gebildet wird sich um ein Vielfaches von 2pi verändert.

Also berechne 0,0246(x+t-63,75) - 0,0246(x-63,75) = 2pi = 6,28  |:0,0246

                    <=>   t = 255,41

Also ist die Gondel immer nach etwa 255,4 Sek. wieder unten,

Für 2 betrachte die Ableitung: h'(t)=0,7503*cos(0,0246x-1,568)

==>  h'(100)=0,47 > 0, also bewegt es sich aufwärts.

Ist ja klar, weil noch keine halbe Umdrehung herum ist.

Momentane Höhenänderung also 0,47m pro s.

Comments

Wie kommt man auf diese Gleichung ? Woher kommt der x-Wert bzw. wofür steht er ?

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Es geht doch um die Frage:

Wenn man bei irgendeinem Zeitpunkt x ist,

wieviele Sekunden (t) müssen vergehen, bis man

wieder den gleichen Wert hat, also wann ist die

Differenz h(x+t) - h(x) = 0.