Die Ölwanne einer Maschine soll teilweise entleert und neu gefüllt werden (Ganzrationale Funktion)

Question

Aufgabe:

Die Ölwanne einer Maschine soll teilweise entleert und neu gefüllt werden. Am Schlauch des Zu- und Ablaufs sind jeweils Durchflussmessgeräte angebracht. Der Vorgang dauert 60 Sekunden. Es wurden folgende Werte aufgenommen:

Zeit in Sek	Flussmenge in Litern/Sek. Abfluss (-) Zufluss (+)	Bemerkung
0	0	Start Entleerung
10	-5	Max. Abflussgeschwindigkeit
60	0	Ende des Ölaustausches

1.1) Berechnen Sie nachvollziehbar eine geeignete Funktion dritten Grades, welche den Olaustausch in Abhängigkeit der Zeit beschreibt.

(Sollten Sie unter \( 1.1 \) kein Ergebnis ermitteln kŏnnen, so rechnen Sie mit \( f(t)=-\frac{1}{1250} t^{3}+\frac{33}{500} t^{2}-\frac{27}{25} t \) weiter.)

1.2) Berechnen Sie nachvollziehbar den Zeitpunkt, an dem das Ölablassen endete und die Neubefüllung begann.

1.3) Berechnen Sie nachvollziehbar die maximale Durchflussgeschwindigkeit im Abfluss sowie im Zufluss.

1.4) Berechnen Sie nachvollziehbar den Zeitpunkt der größten Durchflussänderung.

1.5) Skizzieren Sie den Öfluss in Abhängigkeit der Zeit.

1.6) Berechnen Sie nachvollziehbar, wie viel Liter Öl abgelassen wurden.

1.7) Wenn sich zu Beginn des Vorgangs 100 Liter Öl in der Ölwanne befunden haben: Wie viel Liter befinden sich dann nach dem Abschluss des Austausches in der Wanne?

1.8) In welchem Mischungsverhältnis steht altes zu neuem Öl?

Answer 1

Hier mal ein Anfang für 1.

f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d

f ' (t) = 3at^2 + 2bt + c

Nun die Bedingungen einsetzen

f(0) = 0 → d=0

f(60)=0

0= 216'000a + 3600b + 60c |:60

0= 3600a + 60b + c (I)

f(10)=-5

-5=1000a + 100b + 10c

-0.5 = 100a + 10b + c (II)

f ' (10) = 0

0= 300a + 20b + c (III)

Nun die Gleichungen (I), (II) und (III) auflösen und a,b,c in
f(t) = at^3 + bt^2 + ct einsetzen.

0= 3600a + 60b + c (I)

-0.5 = 100a + 10b + c (II)

0= 300a + 20b + c (III)

Zur Kontrolle meine Resultate: a=-1/1250, b=33/500, c=-27/25

Falls das nicht gelingt, mit der angegebenen Funktion weiterrechnen.

Answer 2

1.2) geht so:

Die Funktion für die Durchflussmengen ist angegeben. Das Neubefüllen beginnt, wenn diese Funktion beginnt, positive Werte anzunehmen. Da das nur an einer Nullstelle geschehen kann, rechnet man also:

f ( t ) =  - ( 1 / 1250 )  t ³ + ( 33 / 500 ) t ² - ( 27 / 25 ) t = 0

<=> t = 0 oder - ( 1 / 1250 )  t ² + ( 33 / 500 ) t  - ( 27 / 25 ) = 0

Multiplikation mit - 1250:

<=> t ² - 82,5 t + 1350 = 0

<=>  t ² - 82,5 t = - 1350

<=> t ² - 82,5 t + 42,25 ² = - 1350 + 41,25 ² = 351,5625

<=> ( t  - 41,25 ) ² = 351,5625 = 18,75 ²

<=> t = ± 18,75 + 41,25

=> t = 22,5 oder t = 60

 

Da die Ableitung von f ( t )

f ' ( t ) = - ( 3 / 1250 ) t ² +(66 / 500) t- ( 27 / 25 )

an der Stelle t = 22 positiv ist (es ist:  f ' ( 22 ) = 0,6624) findet an dieser Nullstelle ein Übergang von negativen zu positiven Werten statt. Folglich beginnt dort der Zufluss des neuen Öls.