doppelte Ungleichung im Komplexen, Menge skizzieren

Question

Aufgabe:

skizzieren sie die Menge aller v€R.

\( -21<v \bar{v}-(3-4 \mathrm{i}) \bar{v}-(3+4 \mathrm{i}) v \leqq-16 \)

Problem/Ansatz:

erstmal habe ich den Term in der Mitte vereinfacht. v=a+bi

v*v_konj.= a^2+b^2

dann (-3+4i)(a-bi) =  (-3a+4b)+(3b+4a)i          =z    z€C

(-3+4i)(a+bi)       =    (-3a+4b)-(3b+4a)i           =z_konj.

--> a^2+b^2+z+z_konj.

z+z_konj=2Re(z)   -->2(-3a+4b) =-6a+8b

--> a^2+b^2+z+z_konj. = a^2+b^2-6a+8b

Dann habe ich die Ungleichung geteilt

a^2+b^2-6a+8b≤ -16                /-8b  /-b^2

a^2-6a           ≤-16-8b-b^2      /*(-1)

-a^2+ba         ≤16+8b+b^2

a(-a+6)      ≥(4+b)^2

Dann die Nullstellen berechnet, um diese Aussage auszunutzen 0≥0

a=0, a=6 , b=-4

zwei Gleichung:

-21<a^2+b^2-6a+8b    nach Umformungen auf folgendes

a^2-6a+21>b(-b-8)

Nullstellen:  b=0, b=-8, a=3±2√3*i

Mehr fällt mir leider nicht ein. Die komplexe Nullstelle macht mich aber schon stutzig.

Ich habe es schon mit Hilfe von geogebra gezeichnet, aber ich weiß nicht wie ich rechnerisch darauf komme und welche Rolle meine Berechnungen dabei spielen.

Answer 1

Hallo

−(3+4i)v=(-3-4i)*(a+ib) du hast gerechnet (-3+4i)(a+bi) 

musst also noch korrigieren.

wenn du x^2+ax+y^2+bx =c hast kannst du das zu (x+a/2)^2+(y+b/2)^2 -a^24-b^2/4 =c ergänzen um auf eine Kreisgleichung zu kommen.

(ich verwende für v=x+iy) das sollte deine 2 Kreise als Begrenzung geben.

Gruß lul

Comments

Danke der Hinweis mit der Kreisgleichung hat mir geholfen:)

Answer 2

Wir haben

\(-21\leq v\bar{v}-(3-4i)\bar{v}-(3+4i)v\leq -16\iff\)

\(4\leq v\bar{v}-(3-4i)\bar{v}-(3+4i)v+(3-4i)(3+4i)\leq 9\iff\)

\(4\leq (v-(3-4i))(\bar{v}-(3+4i))\leq 9\iff\)

\(4\leq (v-(3-4i))\overline{(v-(3-4i))}\leq 9\iff\)

\(2\leq |v-(3-4i)|\leq 3\).

Das ist die Menge aller \(v\), deren Abstand zu \(3-4i\)

zwischen 2 und 3 liegt, also der von Geogebra gezeichnete

Kreisring.

Comments

Hallo ermanus

Das finde ich wirklich gut, so einfach hatte ich das nicht gesehen, Danke

lul