Bestimmen Sie folgende Teilmengen der komplexen Zahlenebene und skizzieren Sie diese

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie folgende Teilmengen der komplexen Zahlenebene und skizzieren Sie diese.
(a) \( M_{1}=\left\{z \in \mathbb{C} \backslash\{0\} \mid \operatorname{Im}\left(-\frac{4}{z}\right) \geqq 1\right\} \)

Problem/Ansatz:

Meine Gedanken sind folgende:

Da auf der Im-Achse -4/z ist, heißt das für mich, dass es die ganze Im-Achse ist, außer die 0. Wegen der Variable, die unendlich gehen kann und auch positiv und negativ sein kann.

Und wegen dem >1 ist sozusagen eine senkrechte Achse an der Re-Achse gesogen. Die gesuchte Menge ist alles die rechts davon ist.

Ich hoffe ihr könnt euch vorstellen, was ich meine.

Comments

Ich habe es jetzt nochmal mit einem anderen Ansatz probiert, umzuschreiben: Komplex Konjugieren

-->  (-4a+b)/(a²+b²) >=1

Bin ich auf dem richtigen Weg?, Wie geht es weiter?

Was ich bei meiner Recherche über Kreisgleichungen herausgefunden habe, konnte ich leider nicht darauf anwenden. Welche Rolle spielt sie hier?

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Bin ich auf dem richtigen Weg?

Mit  Komplex Konjugieren   ja.
Das ergibt -4/z =  -4 (a-bi) / (a^2+b^2)    und Im (..)  =  4b / (a^2+b^2) ≥ 1

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Wieso wird das -4 (a-bi) zu 4b?

Und mit was und warum hast du die 2. Gleichung gleichgesetzt?

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Anwenden des Operators Im

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Es tut mir Leid, ich hab nicht ganz verstanden, was du meintest

-meinst du sozusagen einfach nochmal ausgeschrieben:

Im(\( \frac{-4}{z} \))>=1 = 4b / (a²+b²) ≥ 1

-Das mit dem 4b ist mir noch nicht klar.

Mein Gedankengang : -4 (a-bi) = -4a+4bi  Woher jetzt die 4b?

Answer 1

Hallo „einfaches Hallo“, so gehts los:

\( \operatorname{Im}\left(-\frac{4}{z}\right) \geq 1 \)

\( \operatorname{Im}\left(-\frac{4}{a+i b}\right) \geq 1 \)

Mach jetzt bitte den Nenner reell. Wie geht es weiter?

Comments

Bisher hat hier noch keiner die Aufgabe vollständig gelöst und die gefragte Menge gezeichnet. Scheint aber nicht mehr von Interesse zu sein.

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Hallo, die Aufgabe geriet tatsächlich in den Hintergrund, sodass ich sie vergessen hatte.

Ich muss wohl damals sehr auf dem Schlauch gestanden haben. Danke auf jeden Fall für die schrittweise Heranführung. So finde ich es sehr verständlich.

jetzt habe ich die Lösung auch, wie oben schon von jemanden geschrieben worden ist. → Der Term mit komplex konjugiertem ist : \( \frac{-4a}{a^2+b12} \)  + \( \frac{4bi}{a^2+b^2} \)

Daraus der Imaginärteil: \( \frac{4b}{a^2+b^2}\)

Wie zeichne ich jetzt \( \frac{4b}{a^2+b^2}\)>= 1 ? wie geht man da vor?

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Hallo Hallo, ersetze zuerst mal a durch x und b durch y. Dann ersetzt du das Ungleichheitszeichen durch ein Gleichheitszeichen. So bekommst du die Grenze deines Bereiches heraus. Dann multiplizierst du mit dem Nenner und löst die Gleichung nach y auf. Auf diese Weise bekommst du y = ... x ... und kannst dir Kurve zeichnen. Wenn du damit fertig bist, helfe ich dir mit weiteren Erklärungen.

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Hmmm, 2 Tage sind rum, wieder keine Reaktion. Solltest du eventuell zum zweiten Mal keine Lust mehr auf diese Aufgabe haben? Oder was ist los?

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Hallo, das Interesse besteht noch.

Ich war beschäftigt mit einer Abgabefrist und hatte bis vor kurzem keine Zeit dafür.

Bitte nicht persönlich nehmen

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Nach meiner Rechnung bekomme ich das raus:

X^2 =y(-y-4)

Bzw.

X= wurzel(y(-y-4))

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Das ist leider falsch. Zeig mal deine Zwischenschritte. Und dann bitte nach y auflösen, nicht nach x.

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Ich habe es nochmal probiert. Dieses mal nach y aufgelöst:

4y/ (x^2+y^2) =1  /*(x^2+y^2)

4y= x²+y²   /:y

4= x^2/y  +y^2/y

4= x^2/y +y     /-x^2/y

4- x^2/y =y       /*y

4-x^2 = y^2     /√

√(4-x^2) =y

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meine falsche Rechnung davor nach dem x aufgelöst, war wie folgt:

\( \frac{4y}{x^2+y^2} \) =1 /*(x^2+y^2)

4y=x^2+y^2    / -x^2  /-4y

-x^2 = y^2-4y /*(-1)

x^2 = -y^2+4y   → y(-y+4)     /√

x= √y(-y+4)

(Ich habe kleine Fehler direkt verbessert, deswegen anderes Ergebnis)

sorry für die Darstellung. Die Umwandlung wird gerade nicht immer von hier übernommen

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Von der drittletzten Zeile zur zweitletzten Zeile musst du die 4 mit y multiplizieren. Wie gehts dann weiter?

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4-\( \frac{x^2}{y} \) =y   /*y

y(4-\( \frac{x^2}{y} \))=y*y

4y-x^2=y^2     /+x^2 /-y^2

4y-y^2=x^2

--> y(4-y)=x^2

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Sehr gut!

y(4-y)=x^2

Jetzt bitte nach y auflösen. Hierzu Gleichung aufstellen in der Form

y^2 + ... y + ... = 0

Und dann pq-Formel verwenden.

Behandle x wie eine Konstante. Wie eine normale Zahl.

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Ich weiß nicht, ob ich das richtig verstanden habe.

Die Nullstellen y(4-y) sind 0 und 4

Dann habe  ich mit der PQ-Formel versucht ein p, q so zu finden, dass die entsprechenden Nullstellen heraus kommen. (etwas rum probiert)

p= -4,   q=0

und damit dann die quadratische Funktion gebildet.

y^2-4y+0=0

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Mir ist grad klar geworden, dass das da schon stand.

y(4-y) =y^2-4y

Also unnötig von mir gewesen....

Mir ist leider nicht ganz klar, wie es weiter geht

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y(4-y) = x^2

=> -y^2 + 4y = x^2

=> y^2 - 4y + x^2 = 0

Kennst du die pq-Formel? Dann benutze sie, um nach y aufzulösen.

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Achse, jetzt verstehe ich was mit x^2 einfach als konstante betrachten, gemeint ist.

Ich kennen die pq-Formel, aber weiß nicht wie ich damit nach y umformen soll.

y^2-4y+x²=0  bzw. y^2+py+q=0

-\( \frac{-4}{2} \) ± √(\( \frac{-4}{2} \))²-x²

2±√4-x²

y₁=2+√4-x²

y₂= 2-√4-x²

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Du hast das y vergessen. Ansonsten alles richtig.

y = 2±√(4-x^2)

Prima. Jetzt kannst du die Funktion zeichnen. Genau das ist oben in der Aufgabe verlangt.

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ah ok. danke für deine Geduld:)

Ich habe ein paar Werte eingesetzt, trotzdem habe ich Schwierigkeiten sie zu zeichnen.

x=0 → 4 bzw. 0

x=2  --> 2

bei den anderen kommen Wurzeln raus. Wie gehe ich damit um?

x=1 → 2±√5

x=3 → 2±√13

x=4 2±√20 → 2±2√5

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Erstens hast du unter der Wurzel plus statt minus gerechnet. Zweitens tippst du die Zahlen in den Taschenrechner ein. Drittens zeichnest du die Zahlenpaare x/y in ein Koordinatensystem ein.

Wenn jemand was lernen will, und ich grade Zeit habe, helfe ich immer gerne.

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oh, ich bin davon ausgegangen, dass das minus zum x gehört, also als Vorzeichen und durch das Quadrat alles positiv wird.

Ich probiere es gleich nochmal.

Auf den Taschenrechner bin ich tatsächlich nicht gekommen, weil die meisten Aufgaben ohne geschafft werden sollen.

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Potenzen gehen vor Strichrechnung.

Es geht auch ohne Taschenrechner, aber dazu kommen wir später.

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ich habe folgende Zahlen heraus:

x=0 → 4,0

x=1,.1 → 2±√3 =2±3,7 = 5,7 ; -1,7

x= 2, -2 → 2

x=3, -3 → 2±√-5 = 2±√5 * i = 2±,2,2i

x=4, -4 → 2±√12 *i =2±3,5i

x=5,-5 -->2±√-21  = 2±4,6i

x=6,-6 → 2±√-32 = 2±5,7i

Da ich komplexe zahlen bekommen habe, habe ich alles in die Gaußsche Zahlenebene gezeichnet.

Aus der Re-Teil-Achse sind also 5 Punkte ( -1,7;5,7;0;2 und 4)

Der Rest bildet sozusagen eine senkrechte Achse durch 2. Die Punkte sind aber nicht verbunden.

Ich denke das stimmt nicht.

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Ich möchte mich korrigieren.

Die Zahl selbst aus der Menge ist zwar eine Komplexe Zahl, die Elemente a,b bzw. x,y sind €R. Also  muss y reell bleiben.

Dann kann ich max. x±2 einsetzen

Ich habe noch x= ±1/2  --> -1,7;5,7

x=±3/2 -->3,3; 0,7

kommt ein aufrecht stehendes Bonbon heraus?

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Also ich habe mich verrechnet ( Taschenrechner war auf deg° eingestellt) :

x=±1 → 3,7 ; 0,3

x=±2 → 2

x=0 → 0 ; 4

x=±1/2 -->3,9 ;0,1

x=±3/2 → 3,3 ;0,7

(16 Punkte)

Die Menge ist ein Kreis mit Radius 2 und Mittelpunkt (0,2)

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Super, damit hast du die Aufgabe korrekt gelöst. :-)

Erfolgserlebnis. :-)  

Willst du noch wissen, wie man auf den Kreis kommt, ohne den Taschenrechner zu bemühen?

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 :)

Ich habe mal probiert wurzel x zu zeichnen.
Mit x=0 -- > 0, x=1 -- >1, x=4 -- >2
Dann konnte ich meine gesuchten Größen, wurzel 3 und 7, super ablesen.
Ich weiß es gibt noch so eine Schnecke, aber ich mags mal dabei belassen.

Danke für die tolle Unterstützung!

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Bitte sehr, und jederzeit gerne wieder. :-)