Aufgabe:
Aufgabe \( 1(5+5=10 \) Punkte)
(i) Sei \( f \in C^{\infty}([-1,1]) \) eine ungerade Funktion mit \( f^{(2 n+1)}(x) \geq 0 \) für alle \( |x| \leq \) \( 1, n \in \mathbb{N}_{0} . \) Beweisen Sie:
\( f(x)=T_{0} f(x), \quad|x|<1 \)
(ii) Sei \( f \in C^{\infty}([-1,1]) \) mit \( f^{(n)}(x) \geq 0 \) für alle \( |x| \leq 1, n \in \mathbb{N}_{0} \). Zeigen Sie:
\( f(x)=T_{0} f(x), \quad|x|<1 \)
(Hinweis: Schreiben Sie \( f \) als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion und verwenden Sie Teil (i).)
Problem/Ansatz:
Ich bin gerade in der Ana2 Vorlesung bei meiner Uni und ich verstehe nicht so ganz wir man dort vorgehen sollte, dieses Thema hat mich halt gerade sehr verwirrt. Ich hab gerade versucht quasi die hoch funktion auseinander zu ziehen und den Satz zu verwenden wo für ein Aussreichend großes n \(f^{(2n)}(x)) \leq 0\) für alle x gilt: \(f(x) = T_{0}f(x), \quad|x|<1 \)
Bin halt gerade auf Taylorreihen und reell analytische Funktionen. Das Thema ist ziemlich neu. Alle Hilfe ist nett.
