Aufgabe:
Sei \( f(x)=\sqrt{1+x} \)
(a) Berechnen Sie das 1 -te Taylorpolynom \( T_{1} \) der Funktion \( f \) im Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \) sowie das zugehörige Lagrange-Restglied \( R_{1} \)
(b) Beweisen Sie für alle \( x \geq 0 \) die folgende Ungleichung mit Hilfe der Taylorformel mit Restglied. Verwenden Sie dafür Teilaufgabe a):
$$ \sqrt{1+x} \leq 1+\frac{x}{2} $$
zu a)
$$ T_{1,0}(x)=f(0)+\frac{1/(2\sqrt{0+1})}{1!}x=1+\frac{x}{2}$$
und das Restglied
$$R_{1}(x)=\frac{f''(ξ)}{2!}*x^2=-\frac{1}{8(ξ+1)^{3/2}}*x^2 $$
Ich hoffe das meine ergbenisse zu a) richtig sind, bei b) verstehe ich es leider gar nicht, auch nicht mit welchem Ansatz ich da üerhaupt rangehen muss.Viele dank für eure Hilfe