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Aufgabe:

Sei \( f(x)=\sqrt{1+x} \)
(a) Berechnen Sie das 1 -te Taylorpolynom \( T_{1} \) der Funktion \( f \) im Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \) sowie das zugehörige Lagrange-Restglied \( R_{1} \)
(b) Beweisen Sie für alle \( x \geq 0 \) die folgende Ungleichung mit Hilfe der Taylorformel mit Restglied. Verwenden Sie dafür Teilaufgabe a):
$$ \sqrt{1+x} \leq 1+\frac{x}{2} $$


zu a)

$$ T_{1,0}(x)=f(0)+\frac{1/(2\sqrt{0+1})}{1!}x=1+\frac{x}{2}$$

und das  Restglied

$$R_{1}(x)=\frac{f''(ξ)}{2!}*x^2=-\frac{1}{8(ξ+1)^{3/2}}*x^2 $$


Ich hoffe das meine ergbenisse zu a) richtig sind, bei b) verstehe ich es leider gar nicht, auch nicht mit welchem Ansatz ich da üerhaupt rangehen muss.Viele dank für eure Hilfe

Avatar von

Eigentlich bist du doch schon fertig, denn R1 ist immer negativ oder Null?

Was sagt mir denn das Restglied zur Ungleichung aus? Ich verstehe den Zusammenhang zwischen der Ungeichung und dem Taylorpolynom nicht..

Und sind denn die Ergebnisse dann erstmal richtig? danke

**verbesserung

 $$ R_{1}(x)=\frac{f''(ξ)}{2!}*x^2=-\frac{1}{8(ξ+1)^{3/2}}*x^2 $$

Es gilt doch f(x) = T1(x) + R1(x) und R1(x) ≤ 0.

Habe die Verbesserung des Fragestellers in die Aufgabenstellung integriert.

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

\(f(x) =\color{blue}{\sqrt{1+x}}= T_{1,0}(x) + R_1(x) = 1+\dfrac{x}{2}+ \color{green}{\dfrac{-1}{8(ξ+1)^{3/2}}·x^2} \color{blue}{≤ 1 +\dfrac{x}{2}} \)

denn für x≥0  gilt   R1(x) ≤ 0   für ξ ∈ [0 ; x]

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

 Dankeschön !

immer wieder gern :-)

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