Approximieren Sie die Funktion f(x):=sin^2(x) durch ihr Taylorpolynom im Entwicklungspunkt xo=0.

Question

Betrachten Sie die Funktion

\( f(x):=\sin ^{2}(x), \quad x \in \mathbb{R} \)

(a) Approximieren Sie die Funktion \( f \) durch ihr Taylorpolynom im Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \) und bestimmen Sie dabei den Grad \( n \) des Polynoms so, dass das Restglied für alle \( x \in[-1,1] \) die Abschätzung \( R_{n}(x)<10^{-1} \) erfüllt.

(b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung alle lokalen und globalen Extremstellen von \( f \).

Answer 1

Zunächst macht mal ein paar Ableitungen

f(x) = SIN(x)^2
f'(x) = 2·SIN(x)·COS(x)
f''(x) = 4·COS(x)^2 - 2
f'''(x) = - 8·SIN(x)·COS(x)
f''''(x) = 8 - 16·COS(x)^2
f'''''(x) = 32·SIN(x)·COS(x)
f''''''(x) = 64·COS(x)^2 - 32

Das Restglied sieht wie folgt aus

$$ R_n(x) = \frac{ f^{(n + 1)}(c) }{ (n+1)! } (x - x_0)^{n+1} $$

Dieses sollte jetzt < 0.1 sein.