Taylorentwicklung, Ungleichung

Question

"Zeigen Sie, dass folgende Ungleichung gilt:

\(x - \frac{1}{2} {x}^{2} + \frac{1}{3} {(\frac{x}{1+x})}^{3} ≤ ln(1+x) ≤ x - \frac{1}{2} {x}^{2} + \frac{1}{3} {x}^{3} \) für \( 0 ≤ x <  ∞.\)

Hinweis: Untersuchen Sie die Taylorentwicklung von ln(1+x) um den Punkt a=0."

Ich habe mir die Taylorentwickung angeguckt und die Reihe bis k=5 aufgeschrieben.  Der letzte Teil der Ungleichung  ist die Reihe bis k=3.

Aber ich verstehe nicht ganz wie ich hier weiter vorgehen soll ?

Answer 1

Schreib Dir das mit Restgliedern hin: $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+R_2$$ und $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+R_3.$$ Fuer die Restglieder kannst Du eine Formel Deiner Wahl benutzen. Dann abschaetzen. Es muss $$R_2\ge\frac{1}{3}\left(\frac{x}{1+x}\right)^3$$ und $$R_3\le0$$ rauskommen.

Comments

Ich verstehe das mit der Abschätzung nicht ganz. Kannst du das erklären ?

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Gib doch hier mal an, was Du für R₂ und R₃ bisher hast.

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\( R_2 = - \frac{1}{3} {x}^{3} \) und \( R_3 = - \frac{1}{4} {x}^{4} \)

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Voelliger Bloedsinn.

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\( R_2 = \frac {| \frac{2}{({x+1})^{3}}|}{6} {|x|}^{3} \)und \( R_3 = \frac {| \frac{6}{({x+1})^{4}}|}{24} {|x|}^{4} \)

?

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In die Ableitung wird kein x eingesetzt und Betraege kommen hier auch nicht hin.

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Dann ohne die Betragsstriche und mit einem anderen griechischen Buchstaben statt dem x.

Wie geht es dann weiter ?

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Schreib's richtig hin und erklaere, was es bedeutet.

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\( R_2 = \frac{\frac{2}{{(x+1)}^{3}}}{6} {ξ}^{3} \) , \( R_3 = \frac{\frac{6}{{(x+1)}^{4}}}{24} {ξ}^{4} \)

?

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Merkregel für das Lagrange-Restglied: Es sieht aus wie der naechste Term in der Entwicklung, aber die Ableitung wird an einer Zwischenstelle genommen.

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ja ich sehs, hab mich erfolgreich wieder verschrieben...