Berechnen Sie die Taylorentwicklung bis einschliesslich den Gliedern 2.Ordnung von

Question

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Aufgabe 6 (8P)
Berechnen Sie die Taylorentwicklung bis einschliesslich den Gliedern 2.Ordnung von
\( f: \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0, y), y \in \mathbb{R}\} \rightarrow \mathbb{R}, \quad(x, y) \mapsto e^{x-y} \cdot \ln x^{2} \)
um den Punkt \( (1,1) \)

Hier bräuchte ich einmal Hilfe.

Ableitungen hab ich schon mit einem online Rechner kontrolliert, bin mir aber unsicher, ob mein Taylorpolynom richtig sein kann. Kann mir jemand weiter helfen?

Tf(x,x)= 2(x-1)+(x-1)^2 -2(x-1)*(y-1)

Answer 1

Dein Taylorpolynom ist richtig. Ich komme auf das gleiche Polynom.

Hier meine Ergebnisse im Detail.

Funktionswert an der Stelle (1, 1)

0

Gradient an der Stelle (1, 1)

[2, 0]

Hesse-Matrix an der Stelle (1, 1)

[2, -2; -2, 0]

Damit lautet dann das Taylorpolynom 2. Grades

T2(x, y) = 0 + 2·(x - 1) + 0·(y - 1) + 1/2·(2·(x - 1)^2 - 4·(x - 1)·(y - 1) + 0·(y - 1)^2)

T2(x, y) = 2·(x - 1) + (x - 1)^2 - 2·(x - 1)·(y - 1)

Hier würde ich jetzt normal aufhören. Man könnte aber noch weiter ausmultiplizieren und vereinfachen.

T2(x, y) = 2·x - 2 + x^2 - 2·x + 1 - 2·x·y + 2·x + 2·y - 2

T2(x, y) = x^2 - 2·x·y + 2·x + 2·y - 3