LEUTE es ist wieder so weit...
ICH VERZWEIFLE! Kann mir jemand die Aufgabe 3 Lösen und sagen wie man drauf kommen soll?
BITTE!
Würde mich riesig freuen! Danke..
Text erkannt:
1. Es seien \( a>1 \) und \( q \in \mathbb{N} \) beliebig aber fest gewählt. Zeigen Sie
$$ \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{q}}{a^{x}}=0 $$
d.h. eine Exponentialfunktion zu beliebiger Basis \( a>1 \) wächst für \( x \rightarrow \infty \) schneller als jede Potenzfunktion von \( x \).
Hinweis: Verwenden Sie, dass die Taylorentwicklung der Exponentialfunktion zur Basis a gegeben ist durch
$$ a^{x}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k} \ln (a)^{k}}{k !} $$
2. Folgern Sie aus Aufgabenteil
(a)
$$ \lim \limits_{x \rightarrow \infty} x^{q} a^{x}=0 $$
für \( 0<a<1 \) und \( q \in \mathbb{N} \).
3. Bestimmen Sie
$$ \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2 x-\sin x-\arcsin x}{\exp \left(x^{4}\right)-1} $$
mithilfe der Taylorentwicklungen der beteiligten Funktionen.
Hinweis: Verwenden Sie, dass die Taylorentwicklung der Arcussinus-Funktion gegeben ist durch
$$ \arcsin (x)=x+\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3}}{3}+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^{5}}{5}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \cdot \frac{x^{7}}{7}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8} \cdot \frac{x^{9}}{9}+\ldots $$
