Taylorpolynom verknüpfte Funktionen

Question

Hallo, ich hätte eine Frage zu Taylorreihen /-polynomen. In der Vorlesung hatten wir das Thema nur angeschnitten. Ich habe gelesen, dass man Taylorreihen miteinander verknüpfen kann. Nun habe ich folgende Aufgabe vor mir:

Text erkannt:

Aufgabe 3
Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch \( f(x)=e^{x} \cdot \cos x \) und sei \( x_{0}=\frac{\pi}{2} \).
(a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom dritten Grades von \( f \) zum Entwicklungspunkt \( x_{0} \).
(b) Zeigen Sie mit Hilfe der Taylor-Restgliedformel : Der absolute Approximationsfehler im Intervall \( \left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right] \) ist beschränkt durch \( \frac{9}{2} \).

Wären hier irgendwelche Tricks anwendbar oder müsste ich über die Ableitungen gehen und alles „händisch“ berechnen?

Vielen Dank

Answer 1

Ich schlage als Trick folgendes vor:

$$e^x = e^{\frac{\pi}2}\cdot e^{x- \frac{\pi}2}$$$$\cos x = \cos (\frac{\pi}2 + (x- \frac{\pi}2))= -\sin(x-\frac{\pi}2)$$

Damit ist $$e^x\cos x = -e^{\frac{\pi}2}e^{x- \frac{\pi}2}\sin(x-\frac{\pi}2)$$

Jetzt entwickelst du \(f(t) = e^t\sin t\) um \(t=0\) und ersetzt \(t=x-\frac{\pi}2\) und multiplizierst mit \(-e^{\frac{\pi}2}\).

Comments

Ah, das ist ja cool. Danke!

Answer 2

Hallo

natürlich kannst du die 2 Reihen multiplizieren , aber die ersten 3 Ableitungen zu bilden ist ja fast genau so schnell, und für den Fehler brauchst du eh die 4te Ableitung,

Gruß lul

Comments

Hab’s in der Zwischenzeit auch so gemacht. Ging wirklich flott, wobei die ja einfach ist. Dann könnte ich das für kompliziertere Funktionen also machen? Die mir bekannten Reihen wurden alle um den Punkt 0 entwickelt. Wenn ich dann nun einen anderen Punkt habe, erweitere ich die Klammer um x dann einfach um die Stelle x0? Oder wie geht man da vor?

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Hallo

die Entwicklung um x0≠0 folgt NICHT direkt aus der um 0! also kannst du sie nicht so verwenden.

lul