Berechnen Sie das 2. und 4. Taylorpolynom

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie nun das 2. und das 4. Taylorpolynom am Entwicklungspunkt x0=1.

f(x)=\( \sqrt{x+7} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe schon die Ableitungen berechnet und den Entwicklungspunkt eingesetzt. Ist das richtig, weil da kommen teilweise sehr krumme und lange Zahlen raus.

f(1)=2*\( \sqrt{2} \)

f'(x)= \( \frac{1}{2*\sqrt{x+7}} \)

f'(1)=\( \frac{\sqrt{2}}{8} \)

f''(x)= - \( \frac{1}{4*(x+7)^\frac{3}{2}} \)

f''(1)≈ -0.01

f'''(x)= \( \frac{3}{8*(x+7)^\frac{5}{2}} \)

f'''(1)=

f''''(x)= - \( \frac{15}{16*(x+7)^\frac{7}{2}} \)

f''''(1)=

Comments

Und um welche Funktion geht es? Auftretende Brüche lässt man natürlich als solche stehen und schreibt die nicht als gerundete Dezimalzahlen.

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sorry habe ich bearbeitet. Es geht um die Funktion f(x)=\( \sqrt{x+7} \)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Um die angegebene Funktion$$f(x)=\sqrt{x+7}=\left(x+7\right)^{\frac12}$$in eine Taylor-Polynom 4-ter Ordnung um den Punkt \(x_0=1\) herum zu eintwickeln:$$\small f(x)\approx f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\frac{f''''(x_0)}{4!}(x-x_0)^4$$brauchen wir die darin auftretenden Ableitungen an der Stelle \(x_0=1\):

$$f'(x)=\frac12(x+7)^{-\frac12}\implies f'(1)=\frac{\sqrt2}{8}=\frac{\sqrt2}{2^3}$$$$f''(x)=-\frac14(x+7)^{-\frac32}\implies f''(1)=-\frac{\sqrt2}{128}=-\frac{\sqrt2}{2^7}$$$$f'''(x)=\frac38(x+7)^{-\frac52}\implies f'''(1)=\frac{3\sqrt2}{2048}=\frac{3\sqrt2}{2^{11}}$$$$f''''(x)=-\frac{15}{16}(x+7)^{-\frac72}\implies f''''(1)=-\frac{15\sqrt2}{32768}=-\frac{15\sqrt2}{2^{15}}$$

Die Ableitungen hast du richtig berechnet. Beim Einsetzen würde ich die Brüche mit 2er-Potenzen schreiben, damit sie übersichtlicher bleiben. Nun musst du noch alles zusammenbauen:$$\small f(x)\approx2\sqrt2+\frac{\sqrt2}{2^3}(x-1)-\frac{\sqrt2}{2\cdot 2^7}(x-1)^2+\frac{3\sqrt{2}}{6\cdot 2^{11}}(x-1)^3-\frac{15\sqrt2}{24\cdot2^{15}}(x-1)^4$$$$f(x)\approx\sqrt2\left(2+\frac{x-1}{8}-\frac{(x-1)^2}{2^8}+\frac{(x-1)^3}{2^{12}}-\frac{5(x-1)^4}{2^{18}}\right)$$

Answer 2

Die Ableitungen stimmen. Nun noch x=1 einsetzen (beachte Hinweis zu Brüchen/Dezimalzahlen oben) und zum Polynom zusammensetzen. Zu rechnen gibt es nichts mehr.