Taylorpolynom bestimmen in 3?.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie das 11−te Taylorpolynom in 3 von f(x)= −2x^4−2x−3.

Problem/Ansatz:

Mein Lösungsvorschlag:

-24x^3+108x^2-218x-171

Ich hänge seit einer Stunde dran aber kann den Fehler nicht finden. Was ist das Ergebnis?

Answer 1

Aloha :)

Da die 5-te Ableitung bereits verschwindet$$f(x)=-2x^4-2x-3\implies f(3)=-171$$$$f'(x)=-8x^3-2\implies f'(3)=-218$$$$f''(x)=-24x^2\implies f''(3)=-216$$$$f'''(x)=-48x\implies f''''(3)=-144$$$$f''''(x)=-48\implies f''''(3)=-48$$kannst du das Taylor-Polynom direkt hinschreiben:$$f(x)=-171-218(x-3)-\frac{216}{2}(x-3)^2-\frac{144}{6}(x-3)^3-\frac{48}{24}(x-3)^4$$$$f(x)=-171-218(x-3)-108(x-3)^2-24(x-3)^3-2(x-3)^4$$

Wenn du die Klammern \((x-3)^?\) ausrechnen würdest, käme wieder der ursprüngliche Term für \(f(x)\) heraus.

Answer 2

Die Taylor-Reihe eines Polynoms ist das Polynom selbst.

Sei daher \(y=x-3\), also \(x=y+3\). Dann wird

\(f(x)=f(y+3)=-2y^4-24y^3-108y^2-218y-171=\)

\(=-2(x-3)^4-24(x-3)^3-108(x-3)^2-218(x-3)-171\)