Bestimmen Sie effizient das Taylorpolynom vom Höchstgrad 7 der Funktion f(x)= \sin (x^{2}) mit Entwicklungspunkt …

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie effizient das Taylorpolynom vom Höchstgrad 7 der Funktion \( f(x)= \) \( \sin \left(x^{2}\right) \) mit Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \).

Hinweis: Sie sollten OHNE Ableiten schnell die Lösung hinschreiben!

Kann mir jemand erklären wie man diese Aufgabe löst? Normale Formel für Taylorpolynom ist mir bekannt, aber wie funktioniert das hier mit der Taylorreihe?

Answer 1

Du kennst die Taylorreihe von sin(x)

T(x) = x - 1/6·x^3 + 1/120·x^5 + ...

Hier setzen wir jetzt für x einfach x^2 ein

T(x^2) = (x^2) - 1/6·(x^2)^3 + 1/120·(x^2)^5 + ...
T(x^2) = x^2 - 1/6·x^6 + 1/120·x^10 + ...

Da nur bis zum Höchstgrad 7 gefragt war, lässt du höhere Potenzen einfach weg

T7(x^2) = x^2 - 1/6·x^6

Answer 2

Nimm die Taylorreihe von \(\sin\) und setze \(x^2\) ein.