Taylorreihe L´Hospital beweisen.

Question

bräuchte bei folgender Aufgabe Hilfe :

Zeigen Sie die Regel von l´Hospital. Betrachten Sie dazu \( \lim\limits_{x\to a} \) \( \frac{f(x)}{g(x)} \) mit f(a) = g(a) = 0. Entwickeln Sie f(x) sowie g(x) in eine Taylorreihe um den Punkt a. Betrachten Sie dann den Grenzübergang x→a.


Mein Ansatz für die Taylorentwicklung :




= \( \frac{f(a) }{g(a) } \)  + \( \frac{f´(a)}{g´(a)} \) + \( \frac{f´´(a)}{g´´(a)} \) +...

Das geht jetzt die ganze Zeit so weiter da sich alles ausser die \( \frac{fⁱ}{gⁱ} \)   wegkürzt aber was mache ich nun ? 

Comments

Was nun? Bruchrechnen repetieren.

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Du hast die Taylorreihen falsch aufgestellt.

Die (x-x_i) kürzen sich nicht weg. Im Nenner steht auch ne Summe, aber mit anderen Index .

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Was stimmt denn nicht ? 
Oder meinst du ich solle das zusammenfassen ?

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Hallo

 (a+b)/(c+d)≠a/c+b/d das ist dein Fehler. du teilst 2 Summen durcheinander,

entwickle um a statt um x_o

Gruß lul

Answer 1

Entwickeln Sie f(x) sowie g(x) in eine Taylorreihe um den Punkt a.

    \(f(x) = \sum_{i=0}^\infty \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i\)

    \(g(x) = \sum_{i=0}^\infty \frac{g^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i\)

Also

    \(\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\sum_{i=0}^\infty \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i}{\sum_{i=0}^\infty \frac{g^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i}\)

und somit

    \(\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{\sum_{i=0}^\infty \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i}{\sum_{i=0}^\infty \frac{g^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i}\)

Wegen Bruchrechenregeln darfst du das Summenzeichen nicht einfach vor den Bruch ziehen. Wenn du das dürftest, dann wäre

    \(\frac{1+2+3}{4+5+6} = \frac{1}{4}+\frac{2}{5}+\frac{3}{6}\).