Grenzwert berechnen. Richtige Lösung mit L´hospital?

Question

Aufgabe:

Berechne den Grenzwert von

\( a_{n}=\frac{n^{4}-2}{n^{2}+4}+\frac{n^{3}\left(3-n^{2}\right)}{n^{3}+1} \)

Problem/Ansatz:

Dies ist meine Rechnung ich hoffe man kann es lesen. Ich wollte nachfragen ob man das so machen kann und wenn nicht welche Möglichkeit hätte ich sonst auf das Ergebnis zu kommen ? Das Ergebnis habe ich z.B. mit Wolfram Alpha als Rechner für Grenzwerte überprüft, also das Ergebnis wäre richtig jetzt ist nur meine Frage ist es meine Rechnung auch ? Darf ich so oft L´hospital hintereinander anwenden solange unendlich / unendlich rauskommt ?

Comments

Hallo, ich finde de L'Hospital hier wie mit Kanonen auf Spatzen
geschossen.

Warum klammerst du nicht in der dritten Form \(n^5\)

im Zähler und Nenner aus, kürzt durch \(n^5\) und lässt dann \(n\) gegen

unendlich gehen, so dass die offensichtlichen Nullfolgen verschwinden?

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Du meinst folgendermaßen ?

n^5*((-1)+(n^4/n^5)+(10n^3/n^5)-(2/n^5)) / n^5*(1+(3n^3/n^5)+(n^2/n^5)+(4/n^5))

Da hast du natürlich recht ist mir nicht eingefallen. Wären meine Lösung dennoch richtig, wenn auch umständlich ?

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Ja, so kannst du das machen. Ich habe es aber nicht nachgerechnet.

Bei einer rationalen Funktion \(\frac {a_rn^r+\cdots}{b_sn^s+\cdots}\),

wobei \(r,s\) die Grade des Zählers bzw.Nenners sind, gilt:

1. \(r=s\): \(\lim=\frac{a_r}{b_r}\)

2. \(r>s\): \( \lim=\infty\)

3. \(r<s\): \(\lim =0\)

Gruß ermanus

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Ja ich habe es ja gerechnet und du hast recht aus allem wird eine Null bis auf -1 und 1 und das ist eben -1 am Ende. Oh verstehe danke für den Hinweis

Answer 1

Rechne vielleicht besser mit echten Brüchen:$$a_n=\frac{n^4-2}{n^2+4}-\frac{n^5-3n^3}{n^3+1}=\left(n^2-4+\frac{14}{n^2+4}\right)-\left(n^2-3-\frac{n^2-3}{n^3+1}\right)=-1+\frac{14}{n^2+4}+\frac{n^2-3}{n^3+1}.$$Nun kann der Grenzwert direkt abgelesen werden.

Comments

Danke für den Tipp, und du hast Recht man kann es so einfach ablesen, aber ich würde dennoch gerne Wissen ob mein Weg gehen würde ?

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Wenn \(a_n\) als Funktion interpretiert wird, kann man das m.E. so machen, wäre aber eher unüblich.

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Verstehe danke für die Antwort ich habe da leider noch nicht das Auge für weswegen ich es so umständlich getan habe.

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Nur wo haben Sie umgeformt um zu den aller ersten zwei Brüchen zu kommen die subtrahiert werden ?

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Per Polynomdivision mit Rest.

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Sry hab mich glaub falsch ausgedrückt ich meinte woher SIe diesen Teil haben

\( \frac{n^{4}-2}{n^{2}+4}-\frac{n^{5}-3 n^{3}}{n^{3}+1} \)

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Den ersten Bruch habe ich unverändert übernommen. Beim zweiten habe ich den Zähler ausmultipliziert und anschließend (-1) ausgeklammert. Letzteres wäre aber nicht notwendig.

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Ich verstehe danke