Aloha :)
Die Augensumme \(7\) kann man mit 3 Würfeln durch folgende Kombinationen erhalten:
$$1-1-5\quad;\quad1-2-4\quad;\quad 1-3-3\quad;\quad1-4-2\quad;\quad1-5-1$$$$2-1-4\quad;\quad2-2-3\quad;\quad 2-3-2\quad;\quad2-4-1$$$$3-1-3\quad;\quad3-2-2\quad;\quad3-3-1$$$$4-1-2\quad;\quad4-2-1$$$$5-1-1$$
Da keine Augenzahl doppelt vorkommen darf, können wir einige Fälle streichen:
$$\cancel{1-1-5}\quad;\quad1-2-4\quad;\quad \cancel{1-3-3}\quad;\quad1-4-2\quad;\quad\cancel{1-5-1}$$$$2-1-4\quad;\quad\cancel{2-2-3}\quad;\quad\cancel{2-3-2}\quad;\quad2-4-1$$$$\cancel{3-1-3}\quad;\quad\cancel{3-2-2}\quad;\quad\cancel{3-3-1}$$$$4-1-2\quad;\quad4-2-1$$$$\cancel{5-1-1}$$
Wir rechnen nun die Wahrscheinlichkeiten für jede einzelne Kombination aus, wobei wir annehmen, dass der erste Würfel der gezinkte ist:
$$\cancel{1-1-5}\quad;\quad\frac1{19}\cdot\frac16\cdot\frac16\quad;\quad \cancel{1-3-3}\quad;\quad\frac1{19}\cdot\frac16\cdot\frac16\quad;\quad\cancel{1-5-1}$$$$\frac1{19}\cdot\frac16\cdot\frac16\quad;\quad\cancel{2-2-3}\quad;\quad\cancel{2-3-2}\quad;\quad\frac1{19}\cdot\frac16\cdot\frac16$$$$\cancel{3-1-3}\quad;\quad\cancel{3-2-2}\quad;\quad\cancel{3-3-1}$$$$\frac1{19}\cdot\frac16\cdot\frac16\quad;\quad\frac1{19}\cdot\frac16\cdot\frac16$$$$\cancel{5-1-1}$$
Wir haben also bei allen 6 möglichen Fällen dieselbe Wahrscheinlichkeit, sodass:$$p=6\cdot\frac1{19}\cdot\frac16\cdot\frac16=\frac{1}{19}\cdot\frac16=\frac1{114}$$
