Aufgabe:
Wir betrachten ein Experiment, das unabhängig wiederholt wird, z.B. wiederholtes Würfeln mit einem fairen Würfel. Diese Experiment kann beschrieben werden durch eine Folge \( X_{1}, X_{2}, \ldots \) stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen, die jeweils Laplace-verteilt sind auf 1,2,3,4,5,6
Es gilt \( \mathbb{E}\left(X_{i}\right)=3.5 \) und \( \operatorname{Var}\left(X_{i}\right)=\frac{35}{12} \). Man kann nun empirisch folgenden Sachverhalt beobachten:
- Ist \( n \) groß (häufige Wiederholung), so liegt der Mittelwert \( \bar{X}_{n}:=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} X_{i} \) der gewünschten Augenzahlen ungefähr bei \( 3.5 . \)
Nach dem schwachen Gesetz großer Zahlen ist zu einer vorgegebenen Schranke \( \varepsilon>0 \) bei häufigem Würfeln die Wahrscheinlichkeit, dass die beobachtete mittlere Augenzahl um mehr als \( \varepsilon \) von \( \mathbb{E}\left(X_{i}\right)=3.5 \) abweicht klein, vorausgesetzt \( n \) ist hinreichend groß.
Die Frage ist nun, wie oft man einen fairen Würfel werfen muss, damit für ϵ = 0.1 die Wahrscheinlichkeit einer Abweichung kleiner als 0.01 ist?
Problem/Ansatz:
Meine Idee bisher war, dass ja ein n gesucht ist so dass folgendes gelten muss:
\( P\left(\left|\bar{X}_{n}-3.5\right|>0.1\right) \leq 0.01 \)
Weiterhin weiß man ja, dass mit der Tschebyscheff-Ungleichung folgendes gilt:
\( P\left(\left|\bar{X}_{n}-3.5\right|>0.1\right) \leq \frac{\operatorname{Var}\left(X_{n}\right)}{0.1^{2}} \)
Nun weiß ich nicht weiter, wie man auf die Anzahl an n kommt, die eben angibt, wie oft man mindestens würfeln muss. Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?
