Grenzwerte mit Regel von L´Hospital

Question

Aufgabe:

1)

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{0}-x-1}{x^{2}}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}=0 \)

2)

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}=-1 \)

3)

 \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \Large\frac{x^{3} \sin \left(\frac{1}{x^{2}}\right)}{x+\sin (x)}\normalsize= \)

Problem/Ansatz:

Hallo!
Ich soll hier die Grenzwerte folgender reellwertiger Funktionen bestimmen. Man soll hier auch mit der Regel von de l´hospital rechnen, aber wie genau muss ich da vorgehen? Ich habe versucht die Grenzwerte zu bestimmen, aber bei der 3. Aufgabe kam ich nicht weiter. Die restlichen Aufgaben haben mir auch Schwierigkeiten bereitet. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Answer 1

Hallo

sowohl 0/0 wie oo/oo sind nicht definiert

und  wenn  für x= 0 wirklich 0/0 rauskommt weiss man nichts

x^2/x geht gegen 0,0 a der GW ist 0

x/x wird zu 0/0 der GW ist 1

x/x^2 wird zu 0/0 der GW existiert nicht denn für x->0+ geht das gegen +oo für x->0- gegen -oo

1. kann man vereinfachen auf diesen letzen Fall (1-x-1)/x^2=-x/x^2=-1/x für alle x≠0 deshalb kein GW

2,  wie kommst du zu -1 als GW? auf einen Nenner bringen : (e^x-1-x)/((e^x-1)*x) Zähler und Nenner gehen gegen 0, deshalb L'Hopital anwenden

3. wieder L'Hopital

Gruß lul

Comments

Also so dann? Bei 3) hatte ich am meisten Schwierigleiten.

1)
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{0}-x-1}{x^{2}}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}=0 \)
2) \( \frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}, x \rightarrow 0 \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}=-1 \)
3)
\( \begin{array}{c} \frac{x^{3} \sin \left(\frac{1}{x^{2}}\right)}{x+\sin (x)} \\ \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{3} \sin \left(\frac{1}{x^{2}}\right)}{x+\sin (x)}= \end{array} \)

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Das ist eine Kopie deines ersten post und so falsch wie vorher? Hast du meine Antwort gelesen?

lul

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Hallo Lul!

Ich habe erst jetzt bemerkt, dass das die Kopie ist. Hab das falsche bild konvertiert. Aber jetzt sollte die Verbesserung da sein:

1)
\( \begin{array}{l} \frac{e^{x}-x-1}{x^{2}} 1 x \rightarrow 0 \\ \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{0}-x-1}{x^{2}}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-1}{2 x}=\infty \end{array} \)
2) \( \frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}, x \rightarrow 0 \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}=\frac{e^{x}-1}{\left(e^{x}-1\right) \cdot x}-\frac{x}{\left(e^{x}-1\right) \cdot x}=\frac{e^{x}}{e^{x}-1}-\frac{1}{e^{x}-1}=\infty-\infty=0 \)
3)
\( \frac{x^{3} \sin \left(\frac{1}{x^{2}}\right)}{x+\sin (x)}, x \rightarrow 0 \)
\( x^{-2}=-2 x^{-3}=-\frac{1}{2 x^{3}} \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{3} \sin \left(\frac{1}{x^{2}}\right)}{x+\sin (x)}=\frac{3 x^{2} \cdot \sin \left(\frac{1}{x^{2}}\right)+x^{3} \cdot \cos \cdot\left(\frac{1}{x^{2}}\right) \cdot\left(-2 \cdot x^{-3}\right)}{(x+\sin (x))^{3}} \)

Habe ich irgendwo einen Fehler eingebaut?