0 Daumen
915 Aufrufe

Aufgabe:

Hallo alle!

Könnt ihr mir eine Rückmeldumg geben, ob ich die Aufgaben richtig gelöst habe?


Ansatz:

5)
\( \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}, x \rightarrow \infty \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{\infty+\infty}{\infty-\infty}=\frac{\infty+\infty}{0}= \)

4) \( \frac{x^{7}-3 x^{2}+2 x}{2 x^{7}-4 x^{5}+3 x^{2}}, x \rightarrow \infty \) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{7}-3 x^{2}+2 x}{2 x^{7}-4 x^{5}+3 x^{2}}, x \rightarrow \infty \) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x \cdot\left(x^{6}-3 x+2\right)}{x \cdot\left(2 x^{6}-4 x^{4}+3 x\right)}=\frac{2}{0}=\infty \)

6)
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2 x+\sin (x)}{2 x-\sin (x)}= \)
\( L=\frac{\infty}{\infty}=\infty \quad \alpha^{\prime} H_{0 s P I T A \mathcal{L}} \)
Qushentenked!

Avatar von

3 Antworten

+3 Daumen

Aloha :)

$$\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\frac{e^{-x}\cdot(e^x+e^{-x})}{e^{-x}\cdot(e^x-e^{-x})}=\frac{1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}=\frac{1+\frac{1}{e^{2x}}}{1-\frac{1}{e^{2x}}}\stackrel{(x\to\infty)}{\to}\frac{1+0}{1-0}=1$$

$$\frac{x^7-3x^2+2x}{2x^7-4x^5+3x^2}=\frac{\frac{1}{x^7}(x^7-3x^2+2x)}{\frac{1}{x^7}(2x^7-4x^5+3x^2)}=\frac{1-\frac{3}{x^5}+\frac{2}{x^6}}{2-\frac{4}{x^2}+\frac{3}{x^5}}\stackrel{(x\to\infty)}{\to}\frac{1-0+0}{2-0+0}=\frac12$$

Im letzten Beispiel überlegen wir uns zuerst für \(x>0\):$$-1\le\sin(x)\le1\stackrel{(x>0)}{\implies}-\frac{1}{2x}\le\frac{\sin(x)}{2x}\le\frac{1}{2x}\stackrel{(x\to\infty)}{\implies}0\le\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin(x)}{2x}\le0$$Damit erhalten wir den Grenzwert:$$\frac{2x+\sin(x)}{2x-\sin(x)}=\frac{\frac{1}{2x}(2x+\sin(x))}{\frac{1}{2x}(2x-\sin(x))}=\frac{1+\frac{\sin(x)}{2x}}{1-\frac{\sin(x)}{2x}}\stackrel{(x\to\infty)}{\to}\frac{1+0}{1-0}=1$$

Avatar von 152 k 🚀

Erstmal danke für deine Hilfe Tschakabumba! Aber wieso dürfen wir durch 1/2x teilen?

Da \(x\to\infty\) geht, ist der kritische Fall \((x=0)\), bei dem es zu einer Division durch Null kommen könnte, irrelevant.

0 Daumen

( e^x + e^-x ) / (e^x - e^-x )
lim x -> ∞ [ e^-x ] = 0

( e^x + 0 ) / (e^x - 0 )
e^x / e^x = 1 für alle x

Avatar von 123 k 🚀

Warum kann man das so machen?

( 2 * x + sin(x ) / ( 2 * x - sin(x )
lim x -> ∞ [ sin ( ∞ ) ] ist keine Stelle auf dem
Zahlenstrahl. oszilliert aber zwischen -1 und 1,
Kann aber bei
2 * ∞ + ( -1 bis 1 ) entfallen
( 2 * ∞ ) / ( 2 * ∞) = 1

Warum kann man das so machen?
Dann gehen wir einmal Schritt für Schritt vor
Was ist e^(-∞) ?
Antwort null.
Einverstanden. ?

Wie geht's weiter?

( e^x + e^-x ) / (e^x - e^-x )
lim x -> ∞ [ e^-x ] = 0
wird zu
( e^x + 0 ) / (e^x - 0 )

Einverstanden ?

Verstehe. Das funktioniert also etwa wie: \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}(1+\tfrac1x)=1+0=1\) und weil doch \(1^x=1\) für alle \(x\in\mathbb R\) gilt, ist \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}(1+\tfrac1x)^x=1^x=1\).

Einverstanden?

Nö.
Mein letzter Schritt war
( e^x + 0 ) / (e^x - 0 )
e^x / e^x
1

Geht gleich weiter. Bin mich am rasieren.

Dei 2.Beispiel wird komplizierter.
Honffentlich bekomme ich das selbst raus.

x = 2 : ( 1 + 1/2 ) ^2 = 2.25
x = 10 : ( 1 + 1/10 ) ^10 = 2.59
x = 100 : ( 1 + 1/100 ) ^100 = 2.70

Kurz und kanpp : bis x -> ∞ = 2.71.. = e

Ich will jetzt erst einmal fernsehen schauen.

Melde mich aber wieder.

So.
Schaue einmal unter

http://www.math-kit.de/2003/content/FO-PB-XML-cob/folgen//Manifest26/verzinsung.html

nach. Dort findest du unter

K1 = k0 * ( 1 + E/n )  ^n

eine ähnlich Formel wie bei deinem
Problem.

Die ganze Angelegenheit scheint kompliziert
zu sein.

mfg

( 1 + 1/x ) ^x = e

In neun Schritten in den Irrsinn. Es lohnt sich.

gm-425.jpg

0 Daumen

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{7}-3 x^{2}+2 x}{2 x^{7}-4 x^{5}+3 x^{2}}\)=\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{7}*(1-\frac{3}{x^5}+\frac{2}{x^6})}{ x^{7}*(2-\frac{4}{x^2}+\frac{3}{x^5})}\)=\( \frac{1}{2} \)


\( \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}=\frac{e^{x}+\frac{1}{e^{x}}}{e^{x}-\frac{1}{e^{x}}}=\frac{e^{2 x}+1}{e^{2 x}-1} \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{2 x}+1}{e^{2 x}-1}=\frac{2 \cdot e^{2 x}}{2 \cdot e^{2 x}}=1 \)


\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2 x+\sin (x)}{2 x-\sin (x)}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2+\cos (x)}{2-\cos (x)}=\frac{-\sin (x)}{\sin (x)}=-1 \)




Avatar von 40 k

Man kann diskutieren, ob eine abenteuerliche Methode besser ist als eine falsche, aber bei 6) hat gb wenigstens das richtige Ergebnis hingeschrieben.

Vielen lieben Dank @Moliets! Die ersten beiden Aufgaben habe ich gut verstanden, hatte voll vergessen, dass man auch x^7 herausheben kann. Nur verstehe ich die letze Aufgabe mit dem Sinus nicht. Man hat bei den ersten beiden Aufgaben ja die Regel von l´hopital angewendet, wie sieht´s mit der letzen  Funktion aus? Wie erkenne ich, ob ich bei der letzten Funktion die Regel von l´hopital anwenden muss? Normalerweise müssen diese Bedingungen erfüllt sein: 0/0, unendlich/unendlich, 0*unendlich.

Kannst du vielleicht hinschreiben wo diese Funktion konvergiert? Also 2x konvergiert gegen unendlich, sin(x) konvergiert wohin? Zu 0??

Die Lösung der "Sinusaufgabe" findest du bei Tschakabumba.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community