Aufgabe:
Wir haben \( n \in \mathbb{N} \). Für eine Permutation \( \sigma \in \mathcal{S}_{n} \) definieren wir die Permutationsmatrix spaltenweise
\( P_{\sigma}=\left(e_{\sigma(i)}\right)_{i=1, \ldots, n} \in \mathbb{R}^{n \times n} \)
wobei \( e_{i} \in \mathbb{R}^{n} \) den \( i \) ten Standardeinheitsvektor bezeichnet.
1 Man sollte zuerst zeigen, dass die Menge aller Permutationsmatrizen
\( P=\left\{P_{\sigma} \mid \sigma \in \mathcal{S}_{n}\right\} \)
zusammen mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe bildet.
2 Man soll zeigen, dass die Gruppen \( \left(\mathcal{S}_{n}, \circ\right) \) und \( (P, \cdot) \) isomorph sind.
Problem/Ansatz:
Ich habe zu 1 nur raus gefunden wie Permutationsmatrizen aussehen und wie man diese mit Vektoren auf ein Produkt kommt. Doch leider verstehe ich nicht wie es fúr eine Multiplikation von Matrizen funktioniert.
Zu 2 soll man ja isomorphismus beweisen, dass heist ich muss Injektivität und Surjektivität zeigen. Dann ist es ja teoretisch bewiesen. Leider verstehe ich aber nicht was diese \( \left(\mathcal{S}_{n}, 0\right) \) und \( (P,+) \) für Gruppen sind. (Soll es multiplikation darstellen?)
Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand mir helfen kann.
