Beweis zu Transpositionen, Permutation, symmetrische Gruppe

Question

Ich habe eine Aufgabe in der a,b,c,d,e fünf paarweise verschiedene Elemente von M={1,2,...,n} sind für n≥5. Nun soll ich zeigen:

A) (a,b)=(e,a)(e,b)(e,a)

Wenn ich mir da jetzt als Beispiel a=1, b=2 und e=3 nehme dann steht da ja

(1,2)=(3,1)(3,2)(3,1). Gucke ich mir jetzt das hintere an, wir 1 zunächst auf die 3 abgebildet, die 3 dann auf die 2, und die 2 auf die 2. Also insgesamt die 1 auf die 2, also (1,2). Stimmt also schon mal. Aber wie soll man das jetzt beweisen?

B) (a,b)(c,d)=(e,d,c)(e,a,c)(e,a,b)

Ich glaube, wenn ich einen Ansatz für A) habe, würde ich diesen Beweis vielleicht auch hinbekommen. Ich habe aber wirklich keine Ahnung wie ich da rangehen soll.

Hat vielleicht jemand eine Idee?

Answer 1

Gucke ich mir jetzt das hintere an, wir 1 zunächst auf die 3 abgebildet, die 3 dann auf die 2, und die 2 auf die 2.

Du musst weiterhin noch zeigen, dass (3,1)(3,2)(3,1) die 2 auf 1 abbildet und die 3 auf 3.

Ersetze dann 1 durch a, 2 durch b und 3 durch e und du hast deinen Beweis.

Comments

Also wäre es ein Beweis wenn ich schreibe:

Nach Definition wird durch (e,a)(e,b)(e,a) a wie folgt abgebildet: a wird zunächst auf e abgebildet, anschließend wird e auf b abgebildet und zuletzt b auf b. Damit bildet die Permutation a auf b ab, also (a,b).

b wird folgendermaßen abgebildet: b wird zunächst auf b abgebildet, anschließend wird b auf e abgebildet und zuletzt e auf a. Damit bildet die Permutation b auf a ab, also (b,a)=(a,b).

e wird folgendermaßen abgebildet: e wird zunächst auf a abgebildet, anschließend wird a auf a abgebildet und zuletzt wird a auf e abgebildet. Damit bildet die Permutation e auf e ab, also (a,b)(e)=(a,b).

Damit gilt (a,b)=(e,a)(e,b)(e,a)