Transposition: Zeigen Sie, dass sich jedes Element der symmetrischen Gruppe Sn als Produkt von Transpositionen

Question

Aufgabe:

Für i,j ∈ {1,...,n} mit i ≠ j sei τi,j ∈ Sn die Transposition, die i und j vertauscht.

Zeigen Sie, dass sich jedes Element der symmetrischen Gruppe Sn als Produkt von Transpositionen der Form τi,i+1 für 1 ≤ i ≤ n − 1 darstellen lässt.

Problem/Ansatz:

Irgendwie komme ich auch bei der Aufgabe nicht voran, weil ich nicht weiß wie ich da anfangen soll und ehrlich gesagt die Aufgabe nicht richtig verstehe. Ich möchte keine Lösung, sondern nur einen kleinen Ansatz bzw. kleine Tipps wie ich an die Sache rangehen könnte.

Vielen Dank im Voraus.

Comments

Für i,j ∈ {1,...,n} mit i ̸= j sei τi,j ∈ Sn die Transposition, die i und j vertauscht.

Soll wohl i≠j heissen. Ich korrigiere das.

Answer 1

Versuch die Aufgabe per Induktion zu lösen.