konvexe Menge mit positiver semidefiniter Matrix

Question

Aufgabe:

A ist ein ℝ^n×n positive semidefinite Matrix, α≥0.

M_α ist eine Menge bestehende aus alle x∈ℝ² mit x^tAx≤α.

ich soll zeigen, dass. diese Menge konvex ist.

Hinweis dazu habe ich schon bewiesen: für beliebig a,b∈ℝ gilt: a²x^tAx+2abx^tAy+b²y^tAy≥0, da A positive semidefinite ist, ist einfach zu zeigen, dass (ax+by)^tA(ax+by)≥0 gilt.

Problem/Ansatz:

hat jemande eine Idee, wie ich jetzt λx+(1-λ)y∈M_a zeigen kann für 0≤λ≤1.

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Hallo,

die Zuordnung

$$(x,y) \mapsto x^tAy$$

definiert eine symmetrische semidefinite Bilinearform. Wisst Ihr, dass dann die Cauchy-Schwarz-Ungleichung gilt?

Gruß Mathhilf

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Hallo,

das kenne ich, aber wie ich die benutzen soll weiss ich nicht.

MfG

Malik

Answer 1

Hallo,

wenn also die CSU zur Verfügung steht, dann ist doch zu prüfen, ob(ich benutze s statt lambda und (x,y) statt \(x^tAy\)) :

$$(sx+(1-s)y,(sx+(1-s)y) \leq a \text{  für } (x,x) \leq a, (y,y) \leq a, s \in [0,1]$$

Also

$$(sx+(1-s)y,(sx+(1-s)y) =s^2(x,x)+2s(1-s)(x,y)+(1-s)^2(y,y)$$

$$\leq s^2 a+2s(1-s)\sqrt{a}\sqrt{a}+(1-s)^2a=(s+(1-s))^2a=a$$

Gruß Mathhilf

Comments

Vielen Dank für die explizite Erklärung.

MfG

Malik

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hallo, könntest du bitte kurz erklären, wieso (x,y)≤\( \sqrt{a} \)\( \sqrt{a} \) ist.

Danke sehr.

MfG

Malik

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Das ist die CSU

$$(x,y) \leq \sqrt{(x ,x)} \sqrt{(y ,y)}$$