Konvexe Menge und konvexe Hülle

Question

Beweisen Sie oder geben Sie ein Gegenbeispiel an:

a) Jede konvexe Menge im ℝ^n  ist entweder offen oder abgeschlossen.

b) Die konvexe Hülle einer abgeschlossenen Menge im ℝ^n ist abgeschlossen.

Könnt ihr mir bitte helfen? Danke schön

Answer 1

a) Gegenbeispiel in IR² ist .

M   =   { (x;y) ∈  IR²   |   x≥0 ∧  y≥0 ∧  x+y < 1 }


Ist offenbar konvex  (Dreiecksfläche (0;0) ( 1;0) ( 0;1) im 1. Quadranten.

Nicht abgeschlossen, da  ( 0,5 ; 0,5 ) ein Randpunkt ist aber nicht in M.

Nicht offen,  da (0;0) aus M ,  aber jede Umgebung enthält Punkte mit

mind. einer neg. Komponente ,  also nicht in M.