Konvexe Hülle x1,x2...xn. = Konvexe Hülle ohne x1, wenn x1 keine Ecke.

Question

Ich soll zeigen:
Sei P konvexe Hülle von x1,x2,x3...xn.
Sei x1 keine Ecke von P. Zeigen Sie: P ist die konvexe Hülle von x2,x3,...xn.

Kann ich nun wie folgt argumentieren?:
P ist ein Polytop, da es die konvexe Hülle von endlich vielen Punkten ist.
Da P ein Polytop ist, ist P ein beschränktes Polyeder. Ein beschränktes Polyeder ist die konvexe Hülle der Eckpunkte.
Jetzt weiß ich,dass x1 kein Eckpunkt ist, also ist P auch die konvexe Hülle ohne x1, da x1 ( sowie andere xi, die auch keine Ecken sind)  durch Konvexkombination der Eckpunkte gebildet werden kann.
Damit wäre das doch schon bewiesen oder nicht?

Comments

Anschaulich kann ich dir folgen. Die Frage wäre höchstens, ob du hier überall einfach Begriffsdefinitionen hingeschrieben hast, oder ob ein Teil "Sätze" sind, die aus etwas folgen. Wenn die bekannt sind dürftest du sie bestimmt benutzen.

Konkret:

Sind

"P ist ein Polytop, da es die konvexe Hülle von endlich vielen Punkten ist. 
Da P ein Polytop ist, ist P ein beschränktes Polyeder."

beides Definitionen von Polytop oder ist der zweite Satz die Definition von "beschränktem Polyeder"? 

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Das sind Äquivalenzen:

Definitionen sind:

P ist Polytop, wenn P konvexe Hülle endlich viele Punkte ist.

P' ist Polyeder, wenn P = { x Element R^n: Ax<= b}

Das was ich benutzt habe ist der Satz von Weyl-Minkoswki:

P ist beschränktes Polyeder  <=> P ist Polytop

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Schön. Danke für die Erklärung. Dann sollte der Beweis ja eigentlich fertig sein. Ohne Gewähr!

Wenn die Aufgabe als Vorbereitung für eine Prüfung gegeben wurde, kannst du ja noch die Beweisidee zum

"Satz von Weyl-Minkoswki" ansehen. - könnte ja sein, dass jener Beweis noch zum Thema wird. 

Kann man eigentlich aus dieser Aufgabe folgern, dass die Dimension des fraglichen Polyeders in deiner Aufgabe maximal n-2 ist, d.h. dass x1 keine neue Dimension hinzufügen darf?

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In der Lösung wurde das etwas anders gemacht, hatte aber nachgefragt, weil manche Beweise meiner Ansicht nach zu umständlich gemacht werden bei uns in der Vorlesung.

Falls es dich interessiert, hier die andere Lösung(Aufgabe 3):

http://www.mi.uni-koeln.de/opt/wp-content/uploads/2014/07/or2014-klausur_or2013_1-loesung.pdf

"Kann man eigentlich aus dieser Aufgabe folgern, dass die Dimension des fraglichen Polyeders in deiner Aufgabe maximal n-2 ist, d.h. dass x1 keine neue Dimension hinzufügen darf?"

Warum,denn n-2 ? Ich habe doch maximal x2,...xn als affin unabh. Punkte. Dann wäre die Dimension doch n-1?

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Für mich hat die konvexe Hülle von 3 Punkten (ein Dreieck) die Dimension 2. - Aber ich sollte da vielleicht erst mal die Definitionen genauer ansehen.

Danke für den Link!