Orthogonalen Spiegelung an U = {x∈ℝ^3| x1+x2-x3=0}. Warum ist die lineare Hülle folgende?

Question

Hallo liebe Leute!

Folgendes: Es ist die Matrixdarstellung der orthogonalen Spiegelung o_v  an der Ebene U = {x∈ℝ³| x1+x2-x3=0} zu bestimmen. Bezüglich einer geeigneten Orthonormalbasis und der Standardbasis.

Meine Lösung aus der Übung besagt, dass U = (lin.Hülle)L ((1,1,-1)^t)^⊥ ist bzw. dass U = L((1,0,1)^t,(0,1,1)^t,(1,1,-1)^t) ist

Danach wurden zu diesen Basisvektoren die orthogonalen Basisvektoren bestimmt und

Φ^-1_B*N*Φ_B = (B^-1)^-1 *N*B^-1 = B*N*B^t berechnet.

1	0	0
0	1	0
0	0	-1

 = N

Das N hat deshalb diese Gestalt weil ja an der Ebene gespiegelt wird und somit eine Achse (z.B. z-Achse) negativ wird, um unter die Ebene zu spiegeln oder?

Warum der Rest so ist wie er da steht weiß ich nicht und bitte st um Hilfe. Vor allem wie Die lineare Hülle zu dieser Ebene aufgestellt gehört.

Glg