Bijektive Funktion der Natürlichen auf die Ganzen/Rationalen

Question

Ich möchte folgende Aufgabe lösen: Geben Sie mit Begründung Funktionen wie folgt an:

(a) Eine bijektive Funktion f : ℕ → ℤ

(b) Eine bijektive Funktion f : ℕ → ℚ

Meine Frage: Die Menge der Rationalen Zahlen ℚ und der ganzen Zahlen ℤ ist doch um ein Vielfaches höher als die Menge der natürlichen Zahlen. Eine Abbildung kann somit doch weder surjektiv, noch bijektiv sein, da mit den Elementen aus ℕ gar nicht alle Elemente aus ℤ erreicht werden können?

Zur Aufgabe: Soll ich jetzt einfach eine Funktionsgleichung für je (a) und (b) angeben, die das jeweilige Kriterium erfüllt?

Answer 1

Hi, die Mengen ℕ,ℚ und ℤ sind gleichmächtig und somit gibt es eine bijektive Abbildung zwischen den natürlichen Zahlen und den rationalen Zahlen, sowie zwischen den natürlichen Zahlen und den ganzen Zahlen. Siehe dazu: https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_M%C3%A4chtigkeit_von_Mengen

Zur Aufgabe: Denk dir eine Abbildung aus, welche bijektiv ist und beweise dies. Also das sie injektiv und surjektiv ist, da gibt es einige Beispiele im Forum, wie man so etwas beweist.

Comments

Danke für den Tipp Meitnerium :)

Soll ich mir dafür eine konkrete Abbildung ausdenken, z.b. f(x)=x² und dann die bijektivität dieser beweisen?

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ja, so würde ich die Aufgabe interpretieren