Bestimmen Sie einen Wert von t, für den \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} linear abhängig (komplanar) sind und stelleb sie …

Question

Aufgabe: Gegeben sind die Vektoren  \vec{a}\( \begin{pmatrix}1\\2\\0 \end{pmatrix} \) , \( \vec{b} \) = \( \begin{pmatrix}2\\5\\t \end{pmatrix} \) , \( \vec{c} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\t\\4\end{pmatrix} \), \( \vec{d} \) = \( \begin{pmatrix}3\\7\\6 \end{pmatrix} \)

a) Bestimmen Sie einen Wert von t, für den \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \) linear abhängig (komplanar) sind und stelleb sie dann den Vektor \( \vec{a} \) als linearkombination von \( \vec{b} \) und \( \vec{c} \)

b) Bestimmen sie für t= 1 die Koordinaten des Vektors \( \vec{d} \) bezüglich der Basis {a,b,c} (vektorbuchstaben)

Problem/Ansatz: ich hab den totalen hönger und finde keinen Ansatz, die unbekannte variabel t verwirrt mich. Bitte helfen

Answer 1

a) Versuche x,y aus zu rechnen:

\(   x \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\0 \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix}2\\5\\t \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\t\\4\end{pmatrix} \)

Das gibt

x+2y=0   und 2x+5y=t und yt=4

==>  x=-2y und -4y+5y=t und yt=4

==>                       y=t und t^2=4

Also geht das nur für t=2 oder für t=-2.

mit y=2 und x=-4  oder im 2. Fall y=-2 und x=4

Einer wäre also etwa t=2 und du erhältst

\(  -4 \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix}2\\5\\2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\2\\4\end{pmatrix} \).

b)  Für t=1 hast du

\( \vec{a}= \begin{pmatrix}1\\2\\0 \end{pmatrix} \) , \( \vec{b} \) = \( \begin{pmatrix}2\\5\\1 \end{pmatrix} \) , \( \vec{c} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\1\\4\end{pmatrix} \), \( \vec{d} \) = \( \begin{pmatrix}3\\7\\6 \end{pmatrix} \)

Gesucht sind jetzt die Koordinaten x,y,z mit

\( x \cdot \vec{a}= \begin{pmatrix}1\\2\\0 \end{pmatrix} +y\cdot \begin{pmatrix}2\\5\\1 \end{pmatrix} +z\cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\4\end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix}3\\7\\6 \end{pmatrix} \)

Das gibt ein Gleichungssystem für x,y,z . Damit rechnest du die aus.

Ich bekomme x=13/3   y=-2/3  und z=5/3.