Für Welchen Wert die Vektoren linear abhängig sind?

Question

Aufgabe:

Untersuche für welche z Element R die Vektoren

a=[-2,2,0]

b=[6,6,-18]

c=[4,2,z]

linear abhängig sind.

z=?

Weiß jemand, wie diese Aufgabe zu lösen ist?

Answer 1

Aloha :)

Die 3 Vektoren sind linear abhängig, wenn sie kein 3-dimensionales Volumen aufspannen. Die Determinante aus den 3 Vektoren gibt über das aufgespannte Volumen Auskunft. Die 3 Vektoren sind also genau dann linear abhängig, wenn ihre Determinante verschwindet:

$$\phantom{=}\left|\begin{array}{rrr}-2 & 2 & 0\\6 & 6 & -18\\4 & 2 & z\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}0 & 2 & 0\\12 & 6 & -18\\6 & 2 & z\end{array}\right|=-2\left|\begin{array}{rr}12 & -18\\6 & z\end{array}\right|=-12\left|\begin{array}{rr}2 & -18\\1 & z\end{array}\right|$$$$=24\left|\begin{array}{rr}-1 & 9\\1 & z\end{array}\right|=24\cdot(-z-9)=-24\cdot(z+9)\stackrel{!}{=}0$$

Die Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn \(z=-9\) ist.

Answer 2

am einfachsten über die 3 mal 3 Determinate

a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz) und c(cx/cy/cz)

Determinate D≠0 dann linear abhängig

1.te Reihe ax ay az

2.te Reihe bx by bz

3.te Reihe cx cy cz

Regel von Sarrus (gilt nur für 3 mal 3 Determinaten) anwenden,siehe Mathe-Formelbuch,Kapitel Determinanten

oder Formel r*a+s*b+t*c=0  mit Parameter r,s und t

Drei Vektoren a,b und c sind genau dann komplanar (linear abhängig) wenn es drei reelle Zahlen,r,s und t gibt,

die nicht alle gleich NULL sind

1) -2*r+6*s+4*t=0

2)  2*r+6*6+2*t=0

3)  0*r-18*s+z*t=0   wenn z=0 → dann s=0  → r=s=t=0  → linear unabhängig

z≠0 → linear abhängig