Für welche p sind die 3 Vektoren linear abhängig

Question

Aufgabe: Für welche p sind die 3 Vektoren linear abhängig

a = \( \begin{pmatrix} -2\\5\\2\end{pmatrix} \)

b = \( \begin{pmatrix} -9\\-6\\18 \end{pmatrix} \)

c =\( \begin{pmatrix} -5\\3\\p \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz: Hallo, ich muss berechnen für welche p die 3 Vektoren linear abhängig sind, ich finde den richtigen Ansatz nicht.

LG

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Vektoren sind linear abhängig, wenn das von ihnen aufgespannte Volumen \(=0\) ist.

Das aufgespannte Volumen berechnest du entweder mit dem Spatprodukt oder einfacher mit der Determinante:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}-2 & -9 & -5\\5 & -6 & 3\\2 & 18 & p\end{array}\right|\stackrel{Z_1+=Z_3}{=}\left|\begin{array}{rrr}0 & 9 & p-5\\5 & -6 & 3\\2 & 18 & p\end{array}\right|\stackrel{Z_2-=2Z_3}{=}\left|\begin{array}{rrr}0 & 9 & p-5\\1 & -42 & 3-2p\\2 & 18 & p\end{array}\right|$$$$\phantom{0}\stackrel{Z_3-=2Z_2}{=}\left|\begin{array}{rrr}0 & 9 & p-5\\1 & -42 & 3-2p\\0 & 102 & 5p-6\end{array}\right|=-9\cdot(5p-6)+102\cdot(p-5)$$$$\phantom{0}=57p-456=57(p-8)$$

Für \(p=8\) sind die drei Vektoren linear abhängig.

Comments

Vielen dank, das war echt hilfreich

Answer 2

Die Vektoren sind linear unabhängig wenn aus

$$ \lambda_1 \vec{a} + \lambda_2 \vec{b} + \lambda_3  \vec {c} = 0 $$ folgt, das gilt \( \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0 \)