Für welche Werte a sind die Vektoren linear abhängig?

Question

Aufgabe:

"Für welche Werte a sind die Vektoren linear abhängig?"

Gegeben:  \( \begin{pmatrix} 1\\1\\2\\1 \end{pmatrix} \),  \( \begin{pmatrix} 1\\2a\\2\\1 \end{pmatrix} \),  \( \begin{pmatrix} 2\\0\\a\\a-2 \end{pmatrix} \)

Kann man ohne den Gauß Eliminationsverfahren auf die Lösung kommen? Wenn ja, dann wie?

Wenn nicht , dann wie mache ich das mit den Gauß Verfahren?

Answer 1

Durch kurzes Meditieren erkenne ich, dass für a=0,5 die ersten beiden Vektoren identisch sind. Damit sind die drei Vektoren linear abhängig.

Wenn a nicht 0,5 ist, sind die ersten beiden Vektoren linear unabhängig, d.h. der dritte Vektor müsste sich als Linearkombination v₃ = rv₁+sv₂ der ersten beiden darstellen lassen.

Aus der 1. und 4. Koordinate folgt mit r+s=a und r+s=a-2, dass a=4 ein geeigneter Kandidat ist.

Die 1. Koordinate liefert r+s=2, also r=2-s,

die 2. Koordinate r+8s=0, bzw. 2-s+8s=2+7s=0. Demnach s=-2/7 und r=16/7

Zur Probe setzen wir die Werte für r und s in die Gleichungen ein.

1. Koordinate: r+s=16/7-2/7= 2

2. Koordinate: r+8s=16/7+8(-2/7)=0

3. Koordinate: 2r+2s = 4=a

4. Koordinate: r+s=2=4-2=a-2                     Alles ok!

Also: a=0,5 und a=4 sind die gesuchten Werte.

Comments

Ja, was ich nicht verstehe ist: Welche Methode hast du zum lösen der Aufgabe verwendet? Und wie funktioniert diese? Mir geht es eher um die Methode bzw. den Rechenweg.

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Was bedeutet denn linear abhängig für drei Vektoren anschaulich? Hier etwas unanschaulicher, da die Vektoren vier Koordinaten haben. Stellen wir uns einmal drei Vektoren im dreidimensionalen Raum vor. Linear abhängig sind sie, wenn sie in (mindestens) einer gemeinsamen Ebene liegen.

Nun gibt es verschiedene Möglichkeiten für lineare Abhängigkeit:

- Alle drei Vektoren sind parallel zu einer Geraden

- Zwei Vektoren sind parallel zueinander, der dritte zeigt in eine andere Richtung

- Alle drei Vektoren haben unterschiedliche Richtungen, liegen aber in einer gemeinsamen Ebene

Diese drei Möglichkeiten bin ich durchgegangen und bin auf den beschriebenen Rechenweg gekommen,

Linear unabhängig sind sie, wenn ein Vektor aus der Ebene, die die anderen beiden aufspannen, herausguckt.

Answer 2

Ja, was ich nicht verstehe ist: Welche Methode hast du zum lösen der Aufgabe verwendet?

Er hat nachgedacht (diese Methode ist immer gut).

Ich habe auch nachgedacht und bin zu einem anderen Ansatz gekommen:

Vektoren sind abhängig, wenn sich einer der Vektoren als Linearkombination der übrigen darstellen lässt.

Wenn nun der dritte Vektor eine Linearkombination der erste beiden sein sollte, so müssen seine erste und seine vierte Koordinate übereinstimmen (sie sind jeweils λ·1+μ·1).

Also gilt dann 2=a-4 und somit a=4.

Ebenso müsste man untersuchen was passiert, wenn der zweite Vektor ein Lin.-Komb. des ersten und dritten bzw. wenn der erste Vektor ein Lin.-Komb. des zweiten und dritten ist.

Comments

Er hat nachgedacht (diese Methode ist immer gut).

Und das gilt nicht nur in der Mathematik!

Danke für den Kommentar. :)

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Das war nicht böse  gemeint, falls es so rüber kam.

Eine  letzte Frage:

Wie wurde man die Aufgabe mit  dem Gauß Verfahren lösen?

Bzw. wann ist bei so einer Art Aufgabe , das Gauß Verfahren beendet?

Danke im  Voraus

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Alles gut.

Diese Aufgabe ist relativ einfach gewesen, weil bei den ersten beiden Vektoren drei Koordinaten gleich sind. Dann wäre Gauß übertrieben.

Wenn die Zahlen nicht so einfach sind, könnte das Gauß-Verfahren sinnvoll sein. Bei drei vierdimensionalen Vektoren würde ich mit drei Gleichungen rechnen und mit der vierten Gleichung überprüfen, ob alles aufgeht.

Außerdem habe ich im Kommentar zu meiner Antwort noch ein paar Tipps gegeben.