Im Raum R^3 soll ein Vektor aus drei Vektoren linear kombiniert werden

Question

Aufgabe:

Im Raum R^3 soll der Vektor d aus den Vektoren v, w, x linear kombiniert werden, sodass d = z1*v+z2*w+z3*x

v=[1,0,3]

w=[-1,1,1]

x=[2,2,1]

d=[4,6,5]

Ges.:

z1=?

z2=?

z3=?

Weiß jemand, wie diese Aufgabe zu lösen ist?

Answer 1

Aloha :)

Die Gleichung lässt sich als Matrix-Gleichung schreiben:$$\begin{pmatrix}4\\6\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}z_1+\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}z_2+\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}z_3=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2\\0 & 1 & 2\\3 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{pmatrix}$$

sodass man den Vektor \(\vec z\) direkt ausrechnen kann:$$\begin{pmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2\\0 & 1 & 2\\3 & 1 & 1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}4\\6\\5\end{pmatrix}=\frac{1}{13}\begin{pmatrix}6\\16\\31\end{pmatrix}$$

Damit haben wir gefunden:$$\begin{pmatrix}4\\6\\5\end{pmatrix}=\frac{6}{13}\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\frac{16}{13}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}+\frac{31}{13}\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$$

Das Ergebnis ist etwas "krumm". Prüfe sicherheitshalbe bitte nochmal die Zahlen in der Aufgabenstellung...